高数11.7.ppt

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1、斯托克斯公式第七节一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件机动目录上页下页返回结束第十一章平面上的二重积分区域边界曲线上的曲线积分Green公式推广曲面上的第二类曲面积分区域边界曲线上的曲线积分Stokes公式机动目录上页下页返回结束一、斯托克斯(Stokes)公式定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介目录上页下页返回结束则(

2、利用格林公式)定理1目录上页下页返回结束因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目录上页下页返回结束情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1目录上页下页返回结束为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1目录上页下页

3、返回结束例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用轮换对称性机动目录上页下页返回结束例2.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式目录上页下页返回结束例3.计算积分解法一：直接计算与柱面机动目录上页下页返回结束其中为上半球面从z轴正向看，取逆时针方向.的交线，Γ的参数方程为：则机动目录上页下页返回结束解法二：用Stokes公式，取∑

4、为球面被柱面截下的部分，取上侧，则机动目录上页下页返回结束解法三：用Stokes公式，取∑为柱面夹在球面与xoy平面之间的部分∑1和xoy平面被柱面截下的部分∑2，∑1取外侧，∑2取上侧，则原式机动目录上页下页返回结束从这几个例子可以看到，使用Stokes公式的关键是选取合适的以Γ为边界的曲面.机动目录上页下页返回结束*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函

5、数u,使(4)在G内处处有机动目录上页下页返回结束证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2目录上页下页返回结束同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2目录上页下页返回结束与路径无关,并求函数解:令积分与路径无关,因此例3.验证曲线积分定理2目录上页下页返回结束内容小结1.斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则机动目录上页下页返回结束作业P2381;2习题课目录

6、上页下页返回结束斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.机动目录上页下页返回结束