电子科大_数值分析课件第二章_非线性方程求根.ppt

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1、第二章非线性方程的求根方法第二章非线性方程的求根方法引言方程求根的二分法迭代法及其收敛性Newton迭代法方程是在科学研究中不可缺少的工具；方程求解是科学计算中一个重要的研究对象；几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程的求解公式；但是，对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法；对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法；因此，研究非线性方程的数值解法成为必然。2.1引言非线性方程的一般形式：f(x)=0代数方程：f(x)=a0+a1x+……+anxn（an0）超越方程：f(x)中含三角函数、指数函数、或其他超越函数

2、。用数值方法求解非线性方程的步骤：（1）找出隔根区间；（只含一个实根的区间称隔根区间）（2）近似根的精确化。从隔根区间内的一个或多个点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值。2.2方程求根的二分法定理1（介值定理）设函数f(x)在区间[a,b]连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个根。二分法的基本思想：假定f(x)=0在[a,b]内有唯一单实根x*，考察有根区间[a,b]，取中点x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，则x*=x0，否则，（1）若f(x0)f(a)>0，则x*在x0右侧

3、，令a1=x0，b1=b;（2）若f(x0)f(a)<0，则x*在x0左侧，令a1=a，b1=x0。以[a1,b1]为新的隔根区间，且仅为[a,b]的一半，对[a1,b1]重复前过程，得新的隔根区间[a2,b2]，如此二分下去，得一系列隔根区间：[a,b][a1,b1][a2,b2]……[ak,bk]……其中每个区间都是前一区间的一半，故[ak,bk]的长度：当k趋于无穷时趋于0。即若二分过程无限继续下去，这些区间最后必收敛于一点x*，即方程的根。二分法性质：f(an)·f(bn)<0;bn–an=(b–a)/2n

4、实际计算中，若给定充分小的正数0和允许误差限1，当

5、f(xn)

6、<0或bn-an<1时，均可取x*xn。每次二分后，取有根区间的中点xk=(ak+bk)/2作为根的近似值，则可得一近似根序列：x0,x1,x2,…该序列必以根x*为极限。定理2设x*为方程f(x)=0在[a,b]内唯一根，且f(x)满足f(a)f(b)<0，则由二分法产生的第n个区间[an,bn]的中点xn满足不等式证明：计算过程简单，收敛性可保证；对函数的性质要求低，只要连续即可。收敛速度慢；不能求复根和重根；调用一次求解一个[a,b]间的多个根无

7、法求得。二分法求解非线性方程的优缺点：不动点迭代法不动点的存在性与迭代法的收敛性迭代收敛的加速方法2.3迭代法及其收敛性迭代法的基本思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。例：求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一个根。解：将所给方程改写成假设初值x0=1.5是其根，代入得x1≠x0，再将x1代入得x2≠x1，再将x2代入得如此下去，这种逐步校正的过程称为迭代过程。这里用的公式称为迭代公式，即k=0,1,2,……迭代结果见下表：kxkkxk01234

8、1.51.357211.330861.325881.3249456781.324761.324731.324721.32472仅取六位数字，x7与x8相同，即认为x8是方程的根。x*≈x8=1.324722.3.1不动点迭代法将连续函数方程f(x)＝0改写为等价形式：x=(x)其中(x)也是连续函数，称为迭代函数。不动点：若x*满足f(x*)=0，则x*=(x*)；反之，若x*=(x*)，则f(x*)=0，称x*为(x)的一个不动点。不动点迭代：(k=0,1,……)若对任意x0[a,b]，由上述迭代得序列{xk}

9、，有极限则称迭代过程收敛，且x*=(x*)为(x)的不动点。x2x1x0y=x几何意义：但迭代法并不总令人满意，如将前述方程x3-x-1=0改写为另一等价形式：此时称迭代过程发散。则有x1=2.375，x2=12.396，x3=1904,结果越来越大。仍取初值x0=1.5，建迭代公式：收敛发散定理3（存在性）设(x)C[a,b]且满足以下两个条件：（1）对于任意x[a,b]，有a≤(x)≤b；（2）若(x)在[a,b]一阶连续，且存在常数0

10、`(x)

11、≤L则(x)在[

12、a,b]上存在唯一的不动点x*。2.3.2不动点的存在性与迭代法的收敛性不动点的存在性证明：证：若或显然(x)有不动点；否则，设则有（因a≤(x)≤b）记则有故存在x*使得即x*即为不动点。不动点存在的唯一性证明：设有x1*≠x2*,使得则其中，ξ介于x1*和x2*之间。由定理条件可得