第四章格林函数法.ppt

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1、第四章格林函数法分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题，这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有限的积分形式，十分便于理论分析和研究。格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研

2、究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。4.1格林公式及其应用4.1.1基本解对拉普拉斯方程,其球坐标形式为：(4.1.1)求方程(4.1.1)的球对称解(即与和无关的解),则有：其通解为：为任意常数)。若取,则得到特解,称此解为三维Laplace方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.对二维拉普拉斯方程,其极坐标形式为:(4.1.2)求方程(4.1.2)的径向对称解(即与无关的解),则有：其通解为：为任意常数)。若取,则得到特解,称此解为二维Laplace方程的基本解.4.1.2格林公式由高斯公式,则

3、得到格林第一公式：令将以上两公式相减，得到格林第二公式：调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。4.1.3调和函数的积分表达式由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：除在点外处处满足三维Laplace方程，于是有定理：若函数在上有一阶连续偏导数，且在内调和，则调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。若函数在上有一阶连续偏导数，且在内满足Poisson方程，则同样有4.1.4调和函数的性质性质1.设是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则其中的外法线方向。是证明只要在Green公式中取即证。注

4、：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？性质2(平均值定理)设函数在区域内调和，是内任意一点，若是以为中心，a为半径的球面，此球完全落在区域的内部，则有证明：由调和函数的积分表示：及由性质1，有上式称为调和函数的球面平均值公式。又因为，在上有，所以性质3(极值原理)设函数在区域内调和，它在上连续且不为常数，则它的最大值与最小值只能在边界上达到。推论1设在内有在上连续且在边界上有，则在内有推论2Dirichlet问题

5、的解是唯一的。4.2格林函数由于调和函数有积分表示:又因为Dirichlet边值问题的解唯一,故希望将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，u在边界上的值虽然已知,而在边界上的值却不知道.那么,能否作为边界条件加上的值呢？因为,此时的解已经是唯一的了.那么只有想办法去掉为此，引入格林函数的概念。显然这是行不通的，(4.2.1)格林函数的物理背景原点处点电荷电量，点电荷密度处点电位即处点电荷电量点电荷密度处点电位4.2.1格林函数的定义设在内有在上有一阶连续偏导数，则由格林第二公式有(4.2.2)将（4.2.1）和(4.2.2)两式加起来：(4.2.3)选择调和函数v满足

6、,于是有：(4.2.4)记(4.2.5)则有(4.2.6)称为Laplace方程的格林函数。若上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题且在上具有一阶连续偏导数的解存在时，解可以表示为在(4.2.7)存在对Poisson方程的Dirichlet问题上存在具有一阶连续偏导数的解，则解可以如果在表示为由此可见,求解Dirichlet问题,关键是求Green函数(4.2.5),其中v满足一个特殊的Dirichlet问题：(4.2.8)称由函数v确定的格林函数为第一边值问题的格林函数。4.2.2格林函数的性质1.格林函数在除去点外处处满足Laplace方程，当时，其阶数与相同。2.在

7、边界上，格林函数恒等于零：3.在区域内成立不等式：（用极值原理证明）4.（由格林第二公式证明）5.4.3格林函数的应用用镜象法求特殊区域上的函数。4.3.1上半空间内的Green函数及Dirichlet问题求解上半空间内的Dirichlet问题先求上半空间内的Green函数（4.3.1），即求解问题在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。于是，半空间上的格林函数为(