第二章 群表示理论 1至4节.ppt

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1、第二章群表示理论Representationofgroup12第一节1.群表示的定义设V和V’都是线性空间，T是一个变换规则。如果V中任一向量x在之下对应着中唯一的向量x’，则称T为V到V’的算符，记作x’=Tx，x∊V，x’∊V’通常情况下，V’是V自身，此时称T为V上的算符。3∀x,y∊V,∀α,β∊数域P，若有T(αx+βy)=αTx+βTy则称T为线性算符。线性空间V上，满足群定义的线性算符集合构成线性算符群。一个线性空间V上有一个线性算符群与群G={e,g1,g2,…}同态，则集合T称为群G的一个在该线性空间上的表示。V称为表示空间，V的维数为表示的维数。4V：基矢，

2、一个算符一定与一个矩阵对应矩阵群，选取不同基矢组，T对应不同矩阵群群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方阵集合，如果M与G同态，则称M是G的一个n维表示。与群元g对应的矩阵M(g)称为群元g的表示矩阵。如果M与G同构，则M称为G的真实(faithful)表示。若同态，则称非真实表示。52.单位表示单位算符，对应于单位矩阵任一n维空间上，至少有一个单位算符，，是G的单位表示，也称恒等表示，或平庸表示。(一维，n维)63.如何确定群的表示（非单位表示）例1.C3v群在三维实空间中直角坐标系下的表示。基矢群元g↔算符T(g)，则T(g)是g的一个表示7，也可写成取决于可按上述思

3、路计算，也可如下计算：？8同理，9习题：确定D3群在类似情况下的表示。例2.群在以为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。先考虑一个物理问题：一个物体有温度分布。g∈G，是一个旋转操作。g旋转操作后，r点温度值=在点的值，10新函数旧函数，新自变量即，T(g)组成了与群G同构的算符群。♣T(g)构成线性空间中的一个群111213如果所选的空间基矢（基函数）不恰当，以致经算符变换后，新基矢不能用原基矢的线性组合表示，则表明所选的线性空间对于所研究的群不是封闭的，即，所选空间不足以表示所研究的群，需要寻找一个更大或更合适的空间来表示该群。群的封闭线性空间：只有当所选取的线性空间在算符群中

4、所有算符的作用下都不变时，算符群才能给出群的表示。14一个群的表示有多少种？设矩阵群D是G的表示，对应于群元g的矩阵。有一个非奇异矩阵S，有。对于所有，构成一个矩阵群，也是G的一个表示。称是的等价表示。（注意：要求对所有群元g∈G，都用一个矩阵S得到）采用不同的S，可构造出无穷多种表示，彼此都是等价表示。15定理1.如果有限群G有一个非单位矩阵表示，则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。（对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩阵S，使，并且。）相似变换不影响矩阵间的运算关系，所以，一切等价的表示都认为是相同的表示。等价表示构成一个表示的类。16证明：群G的一个矩阵表示

5、，，对应于各个群元的表示矩阵。定义,H是厄米阵（）。对于厄米阵H，存在一个幺正阵V使其对角化17定义对角矩阵18群的一切等价表示都有一个等价的幺正表示。研究群表示时，只需研究其幺正表示形式。可见，对于任一g∈G，一定存在非奇异矩阵S=VD1，通过相似变换使一般的群表示变成幺正表示。19有无穷多种表示：20定理2.如果D1和D2是群G的两个等价的幺正表示，则有幺正矩阵U，使得。证明：由D1和D2等价可知，存在一个非奇异矩阵S，使得任一元素g，有21对厄米阵H,总有幺正矩阵V使其对角化，22下面证明U是幺正矩阵：证毕。对有限群，只需研究幺正表示及其幺正变换。23若群G有两个幺正表示

6、D1和D2，则∀g∈G，有表示矩阵D1(g)和D2(g)，它们的直和是准对角阵（块状对角矩阵）。显然，这种群表示都是准对角矩阵。24推论：可由D1(g)堆积成也是群G的一种表示。可见，有无穷多种此类构造的表示，都是准对角矩阵。这种由相同结构的准对角矩阵组成的表示，称为可约表示(reduciblerepresentation)。可约表示的一般定义：若通过一个矩阵S进行相似变换，可把所有群元的表示矩阵变成相同块状对角结构的准对角矩阵，则该矩阵表示就是可约表示。这种相似变换过程称为可约表示的约化。（可约表示矩阵→块状对角矩阵）25不可约表示（irreduciblerepresenta

7、tion）上述情况不成立时的群表示，称为不可约表示。或者说，不可约表示是不能用更低维数的矩阵来描述的表示。推知：可约表示=一系列不可约表示的直和26第二节舒尔引理（Schur′slemma）若有一个非零矩阵A和群G的某一种表示中的所有矩阵对易，（1）若该表示是不可约的，则A必为单位矩阵的常数倍。（2）若A不是单位矩阵的常数倍，则该表示必为可约表示。当A是厄米矩阵时，约化矩阵就是使A对角化的矩阵。*（2）是（1）的逆否命题27所以，证明舒尔引理，只需针对A是厄米矩阵这种特殊情况来证明即可。28