弹性力学-04(习题).ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答(习题讲解)习题4-1试导出位移分阶段量的坐标变换式Suv习题4-2设有内径为a而外径为b的圆筒受内压力q,试求内半径及外半径的改变,并求圆筒厚度的改变。解:轴对称问题的径向位移公式(平面应变):对于圆筒轴对称问题,有ur不随变化,即又由位移单值条件,有常数A、B由应力边界条件确定。应力分量:边界条件:习题4-3设有刚体,具有半径为b的圆柱形孔道,孔道内放置一外半径为b而内半径为a的圆筒,受内压力q,试求圆筒壁的应力。解:刚体边界条件:代入边界条件,有将常数A、C代入,有将常数A、C代入,有刚体习题4-4矩形薄板受纯剪,剪力集度为q,如图

2、所示。如果离板边较远处有一小圆孔,试求孔边的最大和最小正应力。45°解:xyrxyr(a)由图(a)给出的孔边应力结果:得:有一薄壁圆筒的平均半径为R,壁厚为t,两端受相等相反的扭矩M作用。现在圆筒上发现半径为a的小圆孔,如图所示,则孔边的最大应力如何?最大应力发生在何处?p2a有一薄壁压力容器,其平均半径为R,壁厚为t。现在容器壁上发现一半径为a的小圆孔,如图所示,则孔边的最大应力如何?最大应力发生在何处?思考题1.思考题2.习题4-5楔形体在两侧受有均布剪应力q,如图所示。试求其应力分量。xyOqq解:(1)应力函数的确定由因次分析法,可知代入相容方程:得

3、到:(2)应力分量的确定xyOqq由对称性,应为的偶函数;应为的奇函数,因而有,(3)由边界条件确定常数边界条件:代入,有:代入应力分量式,有xyOqq代入应力分量式,有习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P,如图所示。试用公式(4-21)求任一铅直截面上的正应力和剪应力,并与材料力学中的结果对比。xyOP解:由密切尔(J.H.Michell)解答,得由应力分量的坐标变换式:(4-21)——密切尔(J.H.Michell)解答由坐标变换式:x材料力学结果:截面弯矩xyOP截面惯性矩截面正应力两者结果相差较大。习题4-7曲梁在两端受相反的两个力P作用,如图所示

4、。试求其应力分量。xyrabOPP解:(1)应力函数的确定分析:任取一截面,截面弯矩为将其代入相容方程:(a)上述欧拉方程的解:(b)代入应力函数为(c)(2)应力分量的确定(d)边界条件:代入应力分量得:端部条件(左端):代入剪应力分量得:(f)联立求解式(e)、(f),得:xyrabOPP(e)自然满足(d)(d)其中,代入应力分量式(d),有:(f)xyrabOPP习题4-8设有无限大的薄板,在板内的小孔中受有集中力P,如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。解:(1)应力分量提示:须要考虑位移单值条件。(2)确定常数r取一半径为r的圆板为隔离体,其上受力如图

5、。由圆板的平衡,得代入应力分量,有r代入应力分量,有恒等式(3)由位移单值条件确定常数A由物理方程与几何方程:r其中:应力分量:积分得:代入:将ur代入积分得:将uru代入r,要使上式对任意的r、成立,有其中:L为常数。(a)(b)求解式(a),有(c)将式(b)变为:(d)(d)求解式(b),有(e)(f)将代入u,有由位移单值条件,有代入应力分量:r得到:

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