量子力学导论Chap7-1.ppt

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1、第七章带电粒子在电磁场中的运动内容提要1、电磁场中的带电粒子薛定谔方程和两类动量经典力学下的哈密顿量量子力学下的哈密顿量、两类动量2、正常塞曼(Zeeman)效应实验描述量子力学解释3、朗道能级垂直外磁场面内哈密顿量能量本征值和简并度1、经典力学下的哈密顿量§7.1电磁场中的带电粒子薛定谔方程和两类动量2、量子力学下的哈密顿量和薛定谔方程哈密顿量薛定谔方程一般情况下，p与A不对易但电磁波是横波，借用横波条件知p与A对易。薛定谔方程化为3、两类动量1）电中性粒子的动量2）带电粒子的动量1、实验描述原子中的电子能级一

2、般有简并。当把原子置于强磁场中，原子发出的每条谱线都分裂成3条正常塞曼效应。Na(钠)原子物理上认为：谱线的分裂是原子能级简并的被解除或部分被解除所致。§7.2正常塞曼(Zeeman)效应+1-2B=0B很大2、量子力学解释原子很小，在其尺度内，外加磁场近视为匀强磁场，记为B，与电子的空间坐标无关。矢势A就取为近似条件：碱金属原子，如Na，每个原子最外层只有一个电子，称为价电子。在原子核及内层满壳电子所产生的屏蔽库仑势场V(r)中运动。价电子的哈密顿量写为(注意电子的电量为-e)其中：对哈密顿量

3、作近似处理：原子尺度很小，(x2+y2)~a2~(10-8cm)2，另外，实验室用于正常塞曼效应的磁场B~104Gauss可以估算出哈密顿量中的B2项远远小于B项。略去B2项后电子的轨道磁矩z与沿z轴的外磁场B的相互作用能物理分析：沿z轴外加匀强磁场，原子的球对称性遭到破坏，l不再是守恒量。但l2和lz仍然是守恒量，这点可从它们与H之间的对易运算得知。守恒量完全集选为(H,l2,lz)，共同本征函数为：径向方程的能量本征值为：屏蔽库仑势和纯库仑势不同，前者只具有后者的空间转动几何对称不变性，能量本征值与径向量子

4、数nr和角动量量子数l都有关。记为，其简并度为(2l+1)。加磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部解除，能量本征值与nr，l和m都有关。原来的能级分裂成(2l+1)条。分裂后相邻的能级间距为ћL，L称为拉莫尔(Larmor)进动频率。对应能级分裂，相应的光谱线也会发生分裂。Na原子为例：该原子的零场中的单一黄色谱线在强磁场中的正常塞曼分裂后为三条谱线，B越大，分裂越厉害！B＝0B很强3p3s+10-1m0-L+L1、垂直外磁场面内哈密顿量研究对象：质量为M，电量为-e的电子，处在只有均匀的外磁

5、场B中时的运动。§7.3朗道(Landau)能级电子哈密顿量(取B沿z轴方向)：其中：可见，z轴方向的运动与B无关，自由运动。可从H中分离出去。我们只研究xy平面内电子的运动。这样，H＝Hxy+Hzxy平面内电子哈密顿量Hxy：令则Hxy中与磁场有关各项的物理意义：B的一次方项是电子在xy平面内的轨道磁矩与z方向磁场B的相互作用项；B的平方项是抗磁项。B2项B一次方项2、能量本征值和简并度物理分析：在塞曼效应中，电子局限在原子内部非常狭小的空间运动，并且所加磁场也不是特别强，那时的抗磁项的贡献很小，基本可以忽略不

6、计。但现在是自由电子，电子的运动空间变得无限大；或者磁场极强(例如中子星内部，有103－107Tesla的磁场)，抗磁项不可忽略。H0的形式与二维各向同性谐振子哈密顿量相同。注：可以验证[Hxy,lz]＝0，对易。守恒量完全集可取为(Hxy,lz)取柱坐标很方便，z轴沿B的方向，xy平面内就是极坐标系。在此坐标系下，共同本征态记为带入能量本征方程Hxy＝E，得到径向方程解出能量本征值(朗道能级)：相应的径向能量本征函数(朗道波函数)谐振子特征长度的倒数能级简并度：对二维各向同性谐振子，设其自然频率为0，能级

7、为EN＝(N+1)ћ0，N=2n+

8、m

9、=0,1,2,…，简并度fN=(N+1)。(因为当nx+ny=N,二者的取值有N+1中组合)。对于均匀磁场中的自由电子，在垂直于磁场平面内其哈密顿分量出现了Lz项，于是能量本征值中出现了mћL的项。而N=2n+

10、m

11、+m,N=0,2,4,…。显然，只要m<0，对同一个N，即同一能量本征值EN，m可以有取值有无穷多个，因此，能级简并度为无穷大。