零点问题的类型及解决方法.pdf

《零点问题的类型及解决方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据2014年3月备考指南零点问题的类型及解决方法⑩江苏省江都中学梁建试究纵观近几年全国各省市的高考题，很多涉及了函数零点问题，且这部分知识往往渗透于综合题中，对思维题型三：函数交点个数的证明——通过换能力有很高的要求，如何准确、快速地解决这类问题呢?元转化为一个函数图像零点的个数本文对这类题做简单的分析，望读者批评指正．题型一：函数零点所在区间的判断——利用零点存在性定理判断零点所在区间利用零点存在性定理时，函数y=“算)在区间[n，6]上的图像必须是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即八口抓6)

2、厂(x)=0在区间(口，6)上至少有一个实数解．例1(2013年重庆高考题)若o<60，厂(6)=(6一c)(6一o)<0，八c)=(c—o)(c一6)>0，且八戈)是二次函数，所以函数厂I戈)=(戈一n)(z一6)+(石一6)(戈一c)+(戈一口)(戈一c)的两个零点分另0位于区间(o，6)、(6，c)．点评：运用零点存在性定理判断零点所在区间．必须结合端点函数值的符号和单调性．题型二：函数零点个数的判断——通过转化、利用数形结

3、合求零点的个数例2方程21+x2=3的实数解的个数为解：可将问题转化成(告)k一茏z+3的解的个数邻戈)：(÷)一，g(z)：。+3，从而将原题转化成函数y瓠石)，y髫(戈)的交点个数，如图l所示．由图可知原方程有两个解．图l点评：将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决．当函数y欹算)与y-g(石)的交点个数不易直接求解时，可以转化为八戈)-g(x)的零点个数．例3(2013年陕西高考题)已知函数八戈)=e。，x∈R，1证明：曲线y舐戈)与曲线y=÷茗2+x+1有唯一的公共点．Z1证明；曲蝴z)=e1，戈∈R与y=÷石2慨+l公共点的个Z1数等价于函数妒(戈)=e1

4、一÷戈2叫一l零点的个数Z因为妒(0)=1一l=0，所以妒(戈)存在零点石=O．妒’(z)=e。叫一l，令^(x)=妒7(z)=eL省一l，贝0^7(z)=e。一1．当戈<0时，^’(x)<0，所以^(z)=p’(z)=e。叫一1在(一∞，0)上单调递减；当工>0时，^’(戈)>0，所以^(x)=妒’(戈)=ex叫一1在(0，+∞)上单调递增．因此^(戈)=妒’(z)=∥叫一l在z=o时有唯一的极小值^(0)邓’(0)=l—l=0，即^(菇)邓’(戈)=e。叫一1在R上的最小值为0．从而9’(戈)=e。叫一1≥0(当且仅当戈=0时等号成立)．1于是妒(x)=eL÷戈～一1在R上

5、单调递增，因此妒(戈)=Z1e1一÷x2叫一l在R上有唯一的零点．故曲线)，欹戈)与曲线二1y=÷戈1嘣+I有唯一的公共点．Z点评：本题要证明指数函数与二次函数的交点个数问题，可把函数交点问题转化为函数零点问题．利用函数的单调性及零点存在性定理来解决．探讨函数y钒z)与y_g(z)图像的交点问题时，常可以通过构造函数妒(z)可(戈)-g(x)，研究函数妒(x)的性质(单调性、极值点)来确定零点个数．高中版中’7毒《：·?一壬凄囊敏曹暑露万方数据考试研究备考指南2014年3月题型四、复合函数的零点个数问题——通过换元转化为两个函数图像交点的个数若复合函数，，舐g(戈))不易具体化

6、或简化，分析它的零点个数时，常常通过整体换元转化为方程厂(t)=0与f=g(z)的根的个数，再进一步转化为函数y甙￡)的零点个数以及直线产f与，，书(茗)图像交点的个数．例4(2012年江苏高考题)若函数y瓠算)在x剐赴取得极大值或极小值，则称戈。为函数y瓠茗)的极值点．已知Ⅱ、6是实数，1和一l是函数只戈)≈3+僦2+缸的两个极值点．(1)求Ⅱ和6的值；(2)设函数g(z)的导函数g’(x)钒戈)+2，求g(戈)的极值点；(3)设矗(z)酬“石))一c，其中c“一2，2]，求函数y=^(戈)的零点个数．解：(1)庐0，6=一3．(2)g(戈)的极值点是戈=一2．(3)当^(z

7、)=厂(厂(戈))一c=0时，所得戈的值为函数y=^(戈)的零点．令￡可(戈)，将方掰(厂(戈))=c等价转化彬(￡)=c，f酬x)．由导数知识很容易画出“x)≈3—3戈的图像(如图2)，且：，(一2)三八1)=一2以一1)三八2)=2．J!y／．八／夭石)_√》占”：V’27图2①当c=一2时，由厂(z)的图像知厂(￡)=c有两个解f。=1、￡：=一2(即直线y=c与y酬￡)的图像有两个交点)．再看￡=八z)，当￡取￡l-1时，直线y=l与y引z)的图像有3个交点；当t取f2_一2时，直线