高等数学竞赛试题及参考解筨.pdf

《高等数学竞赛试题及参考解筨.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、2003高等数学竞赛试题及参考解筨一、选择题（40分）1．设xnznyn，且lim(ynxn)0，则limzn（C）nn(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则（A）(A)当f(x)为奇函数时,F(x)必为偶函数；(B)当f(x)为偶函数时,F(x)必为奇函数；(C)当f(x)为周期函数时,F(x)必为周期函数；(D)当f(x)为单调增函数时,F(x)必为单调增函数.a23．设a0，f(x)在(a,a)内恒有f"(x)0且

2、

3、f(x)

4、x，记If(x)dx，则有（B）a(A)I0;(B)I0;(C)I0;(D)不确定.x22k4．设f(x)有连续导数，且f(0)0,f'(0)0，F(x)(xt)f(t)dt，当x0时，F'(x)与x0是同阶无穷小，则k（B）(A)4；(B)3；(C)2；(D)1.x2y22,xy0225．设f(x,y)xy，则f(x,y)在点(0,0)（D）220,xy0(A)不连续；(B)连续但偏导数不存在；(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.6．设aij,b2j

5、k，则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为（A）(A)3,11；(B)3,11；(C)3,10；(D)2,11.2xdxydy7．设L1与L2是包含原点在内的两条同向闭曲线，L2在L1的内部，若已知L22k2xy2xdxydy（k为常数），则有（D）L221xy(A)等于k；(B)等于k；(C)大于k；(D)不一定等于k，与L2的形状有关.nann8．设anx在x1处收敛，则(x1)在x0处（D）n1n0n0(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)收敛性与an有关.9．设A为mn矩

6、阵，B为nm矩阵，若mn，则齐次线性方程组(AB)X0（C）(A)无解；(B)只有零解；(C)有非零解；(D)可能有解，也可能无解.1x1y1z1110．设M(x,y,z)(i1,2,,n)是空间n(n4)个相异的点，记Ax2y2z21，则iiiixnynzn1M1,M2,,Mn共面的充分必要条件是（D）(A)秩(A)=1;(B)秩(A)=2;(C)秩(A)=3;(D)秩(A)=2或秩(A)=3.2n12xaxbx二、（8分）设f(x)lim(nN)，试确定a、b的值，使limf(x)

7、与limf(x)nx2n1x1x1都存在.22nn121解：当

8、

9、1x时，limxxlim0，故f()xaxbx；当

10、

11、1x时，fx()nnx1,1xf,lim(xf)1,lim(x)ab,ab1xxx112fx()axbx,1x1,1,xf1,lim()xab,lim()1,fxab1xxx11a0，b1三、（8分）设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)1,F(x)f(x)cos2x，求

12、f(x)

13、dx.0解：F

14、xfx()()，FxFx()()cos2x，FxFxdx()()cos2xdx2Fx()sin2xC，由F(0)1知C1，Fx()1sin2x

15、cosxsin

16、x，22

17、cos2

18、

19、cosxxsinx

20、

21、()

22、fxx

23、cossin

24、x

25、()

26、

27、cossin

28、Fxxx

29、()

30、fxdx4(cossin)xxdx(sincos)xxdx(21)(12)22.0043222四、（10分）设{(x,y,z)R

31、axyz0,a0}，S为的边界曲面外侧，计算ax

32、dydz2(xa)ydzdxI222Sxyz1222xya222解：Sz1:axy（下侧），S2:（上侧），0，z0S21122axdydz2(xadzdx)SSSSaa11SSSS121112221122axdydz2(xaydzdx)a2(xadV)aa11SS124113aa1432(3ax2)dV3adVaaa2211a2123a21五、（10

33、分）已知向量组1,2,,m线性无关，向量1,2,,s都可用1,2,,m表出，即miicijj(1,2,,)s，求证：1,2,