条件概率应用的误区.pdf

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1、２０１７年第５６卷第７期数学通报３３条件概率应用的误区谢美华（湖南涉外经济学院管理学院４１００７３）１引言子，已知一个是男孩”，从题意不难理解这里“一个条件概率是概率论中的一个重要知识点，大为男孩”的含义是至少有一个是男孩，并不是“一部分同学都能准确理解条件概率的定义，并掌握个家庭有两个孩子，已知老大是男孩”，或者“一个［１］Ｐ（ＡＢ）家庭有两个孩子，已知老二是男孩”．如果错误地以下条件概率的计算公式：ＰＢ（Ａ）＝．Ｐ（Ｂ）理解为后面两种情况，则会得到１／２的结果．然而在实际应用中，该公式却经常没有得到下面对这三种情况，分别给出其条件概率

2、的正确应用，比较经典的问题是“生孩子”问题．问题计算结果．为：一个家庭有两个孩子，已知一个是男孩，另一问题一：一个家庭有两个孩子，已知第一个是个是女孩的概率是多少？争议很大的答案有两男孩，求另一个是女孩的概率？个，分别为１／２和２／３．天涯论坛上连续有几个关解：设事件Ａ表示第一个为男孩，事件Ｂ表［２－３］于此问题的发帖，从发帖上广大网友的留言示第二个为女孩，显然这两个事件是独立的，因而来看，支持者各占一半．ＰＡ（Ｂ）＝１／２．综合网友的发言，发现认定答案为１／２的人问题二：一个家庭有两个孩子，已知第二个是的主要看法有以下几种：男孩，求另一

3、个是女孩的概率？第一种：你第一胎生男生女，不会影响第二解：与问题一相同，定义设事件Ａ表示第一胎，第二次生女孩依然是二分之一，二者是独立个为女孩，事件Ｂ表示第二个为男孩，则ＰＢ（Ａ）的．＝１／２．第二种：一个是男孩另一个是女孩的情况有问题三：一个家庭有两个孩子，已知其中一个两种，一是姐弟，概率为１／２乘以１／２等于１／４；是男孩，求另一个是女孩的概率？二是兄妹，概率同为１／４．将两种情况相加得１／２．解：设事件Ａ表示至少一个为男孩，事件Ｂ第三种：两个孩子的家庭，共有男女、男男和Ｐ（ＡＢ）表示另一个为女孩，则ＰＡ（Ｂ）＝，其中女女这三种情况，

4、已知一个孩子是男孩，因此去掉Ｐ（Ａ）女女的情况，还剩下男女和男男两种情况，因此另Ｐ（ＡＢ）表示的是两个孩子的家庭中一男一女的一个为女孩的概率为１／２．概率，显然Ｐ（ＡＢ）＝１／２，而Ｐ（Ａ）表示两个孩子这三种想法都没有真正理解题意，主要表现中有一个为男孩的概率，显然Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ珡）为对条件的把握和利用方式不对，对增加条件后＝３／４，从而ＰＡ（Ｂ）＝２／３．的样本空间缺乏认识．这也正是条件概率学习中如果不理解清楚条件的含义，错误地定义事经常碰到的问题．件Ａ、Ｂ就会出现问题一和问题二的结果，上节中［４］与此相似的问题还有三门问题．持有

5、第一种错误观点的人就是这种错法．２条件概率的误区误区二：对增加条件后样本空间的变化没有误区一：对条件概率中的条件把握不准确，致理解使条件事件的定义不准确前文所述的第二种错法就是属于忽视了条生孩子问题中的条件是“一个家庭有两个孩（下转第３８页）３８数学通报２０１７年第５６卷第７期１８１４年，拉普拉斯在他的著作《概率的分析一个“分析具体例证的共同特征，并从这些共同特［７］理论》中给出了著名的概率古典定义，即“概率是征中归纳出概念本质特征”的过程．（如图７）［５］有利情况的个数与所有可能情况个数之比”．这可以看作古典概型概率的最原始计算公式了．

6、其二，“概率论的诞生，虽然渊源于靠运气取胜的游戏，但在今天，却已成为人类知识的最重要的一部分”．无论古典概型，还是几何概型，都与数图７学化有着密不可分的联系，尤其是横向数学［６］化———“把生活世界引向符号世界”．几何概型参考文献这一课时，重点之一是使学生把实例问题，经过抽［１］陆书环，傅海伦．数学教学论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４：象，借助相应的数学符号来解决，包括长度、面积、２５７［２］［７］曹才翰，章建跃．数学教育心理学［Ｍ］．３版．北京：北京师体积、角度等．正确地使用某一种度量方式是关范大学出版社，２０１４：１０８键，即保证

7、基本事件发生的等可能性（可见苏教版［３］王霞．“转盘游戏”转出的“麻烦”———再谈几何概型的教学数学必修３中Ｐ１１０，习题３．３第８题）．［Ｊ］．数学通报，２００９，４８（５）：４５～４７其三，本教学设计围绕问题的提出、探究、解［４］贺善菊．“几何概型”的教学反思［Ｊ］．数学通报，２００９，４８（１０）：决、反思与应用，结合概念的初探、形成、深化与巩３４～３６［５］李文林．数学珍宝———历史文献精选［Ｍ］．北京：科学出版社，固，既实现过程到对象的转变，又使得二者在认知１９９８：８００～８１０结构中共存，有利于实现对本质概念“几何概型”［６

8、］弗赖登塔尔．数学教育再探———在中国的讲学［Ｍ］．刘意竹，的掌握，稳固双基，却又不失过程与方法，并内在杨刚等译．上海：上海教育出版社，１９９９：５７地体现公平、公正的情感、态度与价值观．即这