2、择题：（每小题4分，共20分）1．为使曲线积分òF(x,y)()ydx+xdy与积分路径无关，可微函数F(xy,)应满足怎样的L条件？（）A．xF(x,y)=yF(xy,)B.yF(x,y)=xF(xy,)yxyxC．F(x,y)=F(xy,)D.xy=yx2222设å是球面z=a-x->ya(0)的外侧，则曲面积分：òòxdydz++ydzdxzdxdy=å（）。333A．2paB.4paC．6paD.0xy3对于二元函数f(xy,)=，极限limf(xy,)为（）。22xy+(xy,)®(0,0)A．不存在B.0C．1D.无穷大12yy33-4
3、．改变积分次序后ò0dyò0f(x,y)dx+òò10dyf(x,)ydx=（）。33-x23-xAòòdxf(x,)ydyBòòdxf(x,)ydy0x0x23-x2xCòòdxxf(x,)ydyDòòdxf(x,)ydy003-x222225．设V是由曲面()x+=yz和z=4为界面的区域，则三重积分òòò()x+ydxdydz=V（）。163281（A）p（B）p（C）p（D）p3333三、计算题（每小题8分，共24分）11.计算第一型曲线积分：ò()x+yds，其中L是以O(0,0),AB(1,0),(0,1)为顶点的L三角形。nn2．利用
4、级数收敛的必要条件，证明：lim0=。2n®¥(n!)23.在平面上，求抛物线yx=2和直线xy--=20之间的最短距离。364'332'3四、（8分）若f(x,x)2=+xx，f(x,x)=-23xx，求f(xx,)。12xx五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：ò(esiny-2y)dx+-(ecosy2)dy，ABAB22为由(a,0)到(0,0)经过圆x+=yax上半部的路线。22-y六、（10分）设f(xy,)为连续函数，且f(x,y)=-xeòòf(u,)vdudv，其中D是由直线Dx=0,y==1,yx围成的区域，求f(xy,)。。¥
5、¥21n-22n-21n-七、（10分）求级数ånx的收敛域及和函数，并求ån。n=12n=12参考答案：一、填空题（每小题4分，共20分）1．(--4,2,4)；2：9x+yz--=270；983．0；4：；5：0。13二、选择题（每小题4分，共20分）12345BAACB三、（每小题8分，共24分）1．计算第一型曲线积分：ò()x+yds，其中L是以O(0,0),AB(1,0),(0,1)为顶点的L三角形。2ò(x+y)ds=ò(x+y)ds+òò(x+y)ds++(xy)dsKKK....KK(1分）LOAOBAB11=òòydy+xdxKK
6、KKKKKKKKKKKKKK...KK..KK(4分）001解：+ò[x+(1-x)]2dxKKKKKKKKKKKKK......KKKK（7分）011=++2=+12KKKKKKKKKKKKK.......8KKKK（分）22nn2．利用级数收敛的必要条件，证明：lim0=。2n®¥(n!)¥¥nn证明考虑正项级数åun=å，……………………（2分）(n!)2n=1n=1nn+-121u(n++1)(nn!)(1)由比值判别法limn+1==limlim……………（4分）2nnn®¥unn®¥[(n+1)!]nn®¥n=lim11(1+).n=l
7、ime=<01……………………………………（6分）nn®¥n++11nn®¥n¥nnn从而级å收敛，由收敛级数的必要条件得lim=0………（8分）(n!)2n®¥(n!)2n=13．用拉格朗日乘数法求：设计一个容量为32立方米的长方形开口水箱，问水箱的长，宽和高各等于多少米时，其表面积最小？解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则由题意：目标函数为：S=xy+2yz+2xz……………………………………………（1分）条件函数为：32=xyz……………………………………………………(2分）根据题目要求，利用拉格郎日数乘法，构造函数为：L(x,y,z
8、,l)=xy+2yz+2xz+l(32-xyz)………………………（3分）ìLx=y+2z-lyz=0ïïLy=x+2z-
