线性代数5-1.ppt

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1、定义1内积第一节向量的内积、长度及正交性第五章相似矩阵及二次型1内积的运算性质(5)施瓦茨(Schwarz)不等式2定义2令长度范数向量长度的性质：向量的长度及性质3（3）三角不等式证明：由施瓦茨不等式可知则所以4解单位向量夹角单位向量及n维向量间的夹角例5当时,称为n维向量x与y的夹角.故其中是和的夹角.x到y的标量投影x到y的向量投影6１正交的概念２正交向量组的概念正交一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．正交向量组的概念及求法注：零向量与任何同维的向量都正交.7证明３正交向量组的性质定理18例1已知三

2、维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交基9即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.解10定义3说明单位向量两两正交是的一个规范正交基.说明：向量空间的基不唯一,规范正交基也不唯一!11例如分析：因且所以是的一个规范正交基.12说明因而向量空间取基时常取规范正交基。13设是向量空间V的一个基.问题：求V的一个规范正交基.使得与等价.在V中找一组两两正交的单位向量即我们称这个问题为：把基规范正交化.5求规范正交基的方法14几何解释为在上的投影向量,令为在上的投影向量,令为在上

3、的投影向量,则已知为在确定的平面上的投影向量,令则15（1）正交化若为向量空间V的一个基,令且与等价.易证两两正交,施密特正交化过程说明：对于和等价.有16（2）单位化取那么为Ｖ的一个规范正交基.和等价.有说明：对于和等价.有17例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取18再单位化，得规范正交向量组如下19例３解20再把它们单位化，取21例４解22把基础解系正交化，即合所求．亦即取23证明定义4定理为正交矩阵的充要条件是的列(行)向量都是单位向量且两两正交．正交矩阵与正交变换24性质(1)若

4、A为正交矩阵,则也是正交阵,且或(2)若A,B为正交矩阵,则AB也是正交阵.25例5解26例6判别下列矩阵是否为正交阵．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于27所以它是正交矩阵．由于28性质正交变换保持向量的长度不变．证明定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．291．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：30求一单位向量，使它与正交．思考题31旋转变换32