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1、杆系静不定结构的变形协调条件1)熊慧而 罗松南(湖南大学工程力学系,长沙 410082)摘要 本文用数学方法建立杆的变形与节点位移的解x、y轴方向的单位矢.由矢量代数,可将式(1)写成析关系式,利用这个解析式,可方便地求出复杂情况下杆系结构的变形协调方程.$li=Dxcos(x,li)+Dycos(y,$li)(3)关键词 杆系,静不定结构,变形协调式中cos(x,$li)和cos(y,$li)分别表示第i根杆在杆系静不定问题中,求解的关键步骤是建立结在伸长方向与x轴与y轴的夹角余弦,式(3)即为节构中各杆的变形协调方程.各高等院校中比较通用的点位移与杆的轴向
2、变形之间的解析关系式.[1,2]材料力学教材以及其它材料力学教材中,均采用对一般杆系静不定结构,设杆数为n(nE3),则几何作图法来建立变形协调方程,这对于静不定次数由式(3),可写出n个关于$li与(Dx,Dy)的关系式较少,结构对称的杆系结构,确实是一个可行的方法.对高次静不定或结构不对称的杆系结构,用几何作图$l1=Dxcos(x,$l1)+Dycos(y,$l1)法建立各杆的变形协调方程往往是困难的,甚至是不$l2=Dxcos(x,$l2)+Dycos(y,$l2)(4)可能的.本文介绍一种求解变形协调方程的方法.⋯⋯图1所示两杆桁架,在节点A处作用有一
3、集中力$ln=Dxcos(x,$ln)+Dycos(y,$ln)P.设节点从A移到A’点,AA’=D为节点位移,各杆在新的位置A’处于平衡.由小变形假设,杆1、2的消去节点位移分量Dx,Dy,则由式(4)可得到n-2个伸长量为方程.$l1=A’B=DcosH1在材料力学教材中,常举图2所示三杆桁架的例$l2=A’C=DcosH2子.设A=B,且E1A1=E2A2,即结构完全对称.此时,式中H1,H2分别表示杆1、2的伸长方向与D的夹角.在采用几何作图法,可以比较容易地求出三根杆的变形多杆情况下,可以此类推,第i根杆的变形$li与D的协调方程为关系为$li=Dco
4、sHi(1)$l1=$l3cosA(5)Hi为第i根杆的伸长方向与D的夹角.将节点位移D用坐标分量形式表示为D=Dxi+Dyj(2)式中Dx,Dy分别表示D在x、y轴上的投影,i与j表示图11)国家教委资助项目.图248力学与实践©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.在一般情况下,若A≠B,则用几何作图法求其变形协将式(9)代入式(8),得到调关系就有一定的困难,但可方便地用上述解析法求之.由式(3)可得23$l1=$l2(10)3$l。上式即为此结构两杆的变形协调方程.1=
5、Dxcos(90-A)+DycosA$l。图4所示一次静不定对称结构,且考虑装配应2=Dxcos(90+B)+DycosB(6)。。力,节点A、C均为动点,且只有竖直位移,分别为$l3=Dxcos90+Dycos0DA和DC,由式(3)有消去上式的Dx,Dy,得到。23$l1=$l2=DAcos60,则 DA=$l13$l1sinB+$l2sinA=$l3(cosAsinB+cosBsinA)(11)(7)。$l4=$l5=DCcos30,则 DC=2$l4(12)当结构完全对称时,式(7)简化为AC杆(即杆3)的变形为$l1=$l3cosA$l3=D+DC-D
6、A(13)上式与式(5)完全相同.上述推导及结论也可用于非汇交力系的其它类型将式(11)、(12)代入上式,有静不定杆系结构.图3所示结构,杆AD为刚杆,杆1、2为斜拉杆,在力P作用下,求两杆轴力.这是一$l233=D+2$l4-$l1(14)3次静不定问题,需建立一个变形协调方程.首先考虑B、C两点位移之间的关系.由小变形假设,设B、C两上式为该结构的变形协调方程.点只有竖直位移,用DB,DC表示,由比例关系有DC=2DB(8)又由式(1)可得。1$l1=Dcos60=DC2(9)。3$l2=DBcos30=DB2图4参 考 文 献1刘鸿文主编.材料力学(第3
7、版).北京:高等教育出版社,19922孙训方主编.材料力学(第3版).北京:高等教育出版社,1994(1995年11月25日收到第1稿,1996年1月20日收到修改稿)图3第18卷(1996)第6期49©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
