自考离散数学教程.ppt

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1、高等学校21世纪教材电子教案离散数学人民邮电出版社9/15/20211第一章命题逻辑命题逻辑，也称命题演算，记为Ls。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。数理逻辑是用数学方法即通过引入表意符号研究推理的学问。因此，数理逻辑又名为符号逻辑。命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。退出1.1命题与联结词1.2命题变元和合式公式1.3公式分类与等价公式1.4对偶式与蕴涵式1.5联结词的扩充与功能完全组1.6公式标准型——范式1.7公式的主范式1.8命题逻辑的推理理论1.1命题与联结词１.命题

2、的概念所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。而疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其真假，故都不是命题。命题仅有两种可能的真值—真和假，且二者只能居其一。真用1或T表示，假用0或F表示。由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主观决定的。如果一陈述句再也不能分解成更为简单的语句，由它构成的命题称为原子命题。原子命题是命题逻辑的基本单位。命题分为两类，第一类是原子命题，原子命题用大写英文字母P，Q，R…及其带下标的Pi，Qi，Ri，…表示。第二类是复合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号

3、组成。２.命题联结词定义1.1.1设P表示一个命题，由命题联结词l和命题P连接成lP，称lP为P的否定式复合命题，lP读“非P”。称l为否定联结词。lP是真，当且仅当P为假；lP是假，当且仅当P为真。否定联结词“l”的定义可由表1.1.1表示之。由于否定”修改了命题，它是对单个命题进行操作，称它为一元联结词。定义1.1.2设P和Q为两个命题，由命题联结词∧将P和Q连接成P∧Q，称P∧Q为命题P和Q的合取式复合命题，P∧Q读做“P与Q”，或“P且Q”。称∧为合取联结词。当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的

4、真值为假。合取联结词∧的定义由表1.1.2表示之。定义1.1.3设P和Q为两个命题，由命题联结词∨把P和Q连接成P∨Q，称P∨Q为命题P和Q的析取式复合命题，P∨Q读做“P或Q”。称∨为析取联结词。当且仅当P和Q的真值同为假，P∨Q的真值为假；否则，P∨Q的真值为真。析取联结词∨的定义由表1.1.3表示之。由定义可知，析取联结词表示“可兼和”，“不可兼和”另有别的联结词定义之。与合取联结词一样，使用析取联结词时，也不要求两命题间一定有任何关系，有关例子就不再给出了。定义1.1.4设P和Q为两个命题，由命题联结词→把P和Q连接

5、成P→Q，称P→Q为命题P和Q的条件式复合命题，简称条件命题。P→Q读做“P条件Q”或者“若P则Q”。称→为条件联结词。当P的真值为真而Q的真值为假时，命题P→Q的真值为假；否则，P→Q的真值为真。条件联结词→的定义由表1.1.4表示之。在条件命题P→Q中，命题P称为P→Q的前件或前提，命题Q称为P→Q的后件或结论。条件命题P→Q有多种方式陈述：“如果P，那么Q”；“P仅当Q”；“Q每当P”；“P是Q的充分条件”；“Q是P的必要条件”等。在日常生活中，用条件式表示前提和结论之间的因果或实质关系，如例1.1.4中的①，这种条件式称

6、为形式条件命题。然而在命题逻辑中，一个条件式的前提并不要求与结论有任何关系，这种条件式称为实质条件命题。采用实质条件式作定义，不单是出于“善意推断”，主要是因为前提与结论间有无因果和实质关系难以区分，而且实质条件式已包含了形式条件式，更便于应用。定义1.1.5令P、Q是两个命题，由命题联结词把P和Q连接成PQ，称PQ为命题P和Q的双条件式复合命题，简称双条件命题，PQ读做“P当且仅当Q”，或“P等价Q”。称为双条件联结词。当P和Q的真值相同时，PQ的真值为真；否则，PQ的真值为假。双条件联结词的定义由表1.1.5表示之

7、。在本节结束时，应强调指出的是：复合命题的真值只取决于各原子命题的真值，而与它们的内容、含义无关，与原子命题之间是否有关系无关。理解和掌握这一点是至关重要的，请读者认真去领会。1.2命题变元和合式公式１.命题变元在命题逻辑中，命题又有命题常元和命题变元之分。一个确定的具体的命题，称为命题常元；一个不确定的泛指的任意命题，称为命题变元。显然，命题变元不是命题，只有用一个特定的命题取代才能确定它的真值：真或假。这时也说对该命题变元指派真值。命题常元和命题变元均可用字母P等表示。由于在命题逻辑中并不关心具体命题的涵义，只关心其真值，因此

8、，可以形式地定义它们如下：定义1.2.1以真或1、假或0为其变域的变元，称为命题变元；真或1、假或0称为命题常元。2.合式公式通常把含有命题变元的断言称为命题公式。但这没能指出命题公式的