大学高等数学第五版上课件D3_7曲率.ppt

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1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动目录上页下页返回结束主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率第三章一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长机动目录上页下页返回结束则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:机动目录上页下页返回结束二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!机动目录上页下页返回结束转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大

2、,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.机动目录上页下页返回结束有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动目录上页下页返回结束说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则机动目录上页下页返回结束例2.求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小机动目录上页下页返回结束求驻点:设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动目录上页下页返回结束计算驻点处的函数值:最大.三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线

3、有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使机动目录上页下页返回结束设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.机动目录上页下页返回结束由此可得曲率中心公式机动目录上页下页返回结束点击图中任意点动画开始或暂停内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心机动目录上页下页返回结束思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?解:则利用

4、机动目录上页下页返回结束作业第八节目录上页下页返回结束P1754；5