数学物理方法12格林函数.ppt

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1、第十二章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．一、格林公式上具有连续一阶导数,在区域及其边界和中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理(12.1.1)将对曲面的积分化为体积分12.1泊松方程的格林函数法以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有上述两式相减得到表示沿边界的外法向偏导数．称为第二格林公式．进一步改写为二、泊松方程的格林函数法1、

2、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程边值条件是区域边界上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题表示边界面上沿界面外法线方向的偏导数泊松方程第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题2、格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：代表三维空间变量的函数，在直角坐标系中其形式为格林函数的物理意义：在区域T

3、内部处放置一个点源，而在该区域T的界面上为零的条件下,那么该点点源在区域T内r处产生的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数．格林函数互易定理：因为格林函数代表处的点源在处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离的函数,故它应该遵守如下的互易定理：根据格林第二公式令得到根据函数性质有：故有称为泊松方程的基本积分公式．格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：第一类边值问题：相应的格林函数是下列问题的解：考虑到格林函数的齐次边界条件，第一类边值问题的解2.第二类边值问题相应的格林

4、函数是下列问题的解：由公式可得第二类边值问题解3.第三类边值问题相应的格林函数是下列问题的解：泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函格林函数的边值条件的两边同乘以函数得相减得到代入（14.2.9）得到第三类边值问题的解这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域中分布的源在点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场．对于拉普拉斯方程第一边值问题的解为第三边值问题的解为12.2无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式中的面积分

5、应为零，故有选取和分别满足下列方程三维球对称对于三维球对称情形，我们选取对上式两边在球内积分（14.3.4）（14.3.5）利用高斯定理（14.1.1）得到(14.3.6)故有使上式恒成立，有因此，,故得到对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为代入（14.3.1）得到三维无界区域问题的解为上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即因为由于只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果令积

6、分常数为0，得到因此二维轴对称情形的格林函数为将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法电像法考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零点对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在

7、界面上产生的电势之和为零这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在处放置一正单位点电荷则虚设的负单位点电荷应该在于是得到这两点电荷在xoy的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为（14.4.2）据上述物理模型可求解下列定解问题例14.6.1定解问题：【解】根据第一边值问题，构建的格林函数满足处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为边界外法线方向为负轴，故有代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（

8、14.2.13），拉普拉斯方程的自由项,则由得(14.4.3)或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式（14.2.22）得到(14.4.4)公式（14