05第五章贝赛尔函数.ppt

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1、第五章贝赛尔（Bessel）函数－－－－－－特殊函数之一1Bessel方程的导出§5.1Bessel方程及Bessel函数引例：设有半径为R的圆形薄盘，上、下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。该问题的数学模型为：用分离变量法求解。令代入方程得考虑到边界条件，有转化到极坐标系，问题变成亥姆霍兹方程再用分离变量法第二个方程变形为令　　　　　　　　　　代入方程得求解固有值问题得固有值及固有函数分别为将　　　代入方程　　　　　　　　　　　　　　得再由边界条件　　　　　知，故有下列固有值问题又只要能够求解该固有值问题，

2、本节提出的热传导问题就解决了。下面先研究该固有值问题中的方程。称为ｎ阶Bessel方程一般的有v阶Bessel方程2.Bessel函数－Bessel方程的解用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为于是各阶导数为代入Bessel方程，整理，得于是由幂级数展式的唯一性，有不妨取其中　　　是一个任意常数，为了简化，取注１：是一个广义函数：注２：的性质：当v是正整数n时回到原问题这时这样就得到了Bessel方程的一个特解记为　　　，即称为v阶第一类Bessel函数（级数）。称为-v阶第一类Bessel函数（级数）。当　　　时可得Bessel方程的另一个解　

3、　　，即由幂级数收敛性判定知，这两个级数在实数域内均绝对收敛。若构造Bessel方程的通解如何得到呢？情形１：当v不是整数时，与　　线性无关，于是Bessel方程的通解为则称　　　为第二类Bessel函数，而　　　与　　　线性无关，故通解又可写成情形２：当v是正整数n（包括零）时，与　　线性相关，于是需找到与　　　线性无关的函数，才能得到Bessel方程的通解。定义即可满足要求。此时下面说明　　　与　　　　的线性相关性：由于当而当　　　　　　　　　　　　　　　　　，于是有故　　　与　　　　的线性相关。例1验证　　　　　　　是方程　　　　　　　　　　　　的解。分析：

4、　　　　满足Bessel方程证明：因代入方程，得例2：证明的解为性质1有界性性质2奇偶性§5.2贝塞尔函数的性质当v为正整数n时性质3递推性推导：于是得递推公式：推导：于是得递推公式：例３求下列微积分同理有递推公式：性质４半奇数阶的贝塞尔函数1固有值问题的解－－§5.1问题的继续§5.3正整数阶Bessel函数的性质及应用上节要解决的固有值问题经前面讨论之后，可得方程的通解为2Bessel函数的零点由如上几个函数零点的布局结构，可推知有无穷多个单重实零点，并关于原点对称分布，故有无穷多个正零点，记为与　　　　的零点是相间分布的，且即　　　的最小正零点比　　　　的小

5、。,即　　　图形随着　　　趋于以　为周期的函数。这时故固有值为固有函数系为在前面的介绍中，故有函数系均正交，此处如何？３固有函数系的正交性证明略。结论：n阶Bessel函数系　　　　　　　在　　上带权　　正交，即且结论：若　　在　　内分段连续，且　　　　　　　　　　则　　必能展成如下形式的级数其中４Fourier-Bessel级数Fourier-Bessel级数Fourier-Bessel系数例4：将1在区间内展成的级数形式解：设由正交性知而所以例5：将x在0

6、法。令　　　　　　　，代入方程，得均匀圆盘的热传导，无热源边界温度为零初始温度与角度无关，于是内部温度分布也与角度无关方程通解为固有函数为可归纳出固有值问题：于是固有值为０阶Bessel方程另一方程解为由叠加原理有由初值条件知此时经计算得故原问题的解为例2(圆柱形域内的电势)有导体壁构成的空圆柱，高为h，半径为b，上底的电势为U，侧面和下底的电势为零，试求圆柱体内部的电势。用分离变量法。令　　　　　　　，代入方程，得解：采用柱坐标系，数学模型为：方程通解为固有函数为可归纳出固有值问题：于是固有值为０阶Bessel方程另一方程解为由叠加原理有由条件知由Bessel函

7、数系的正交性，知两式联立求解得：故原问题的解为R=0.2,h=0.8,U=2时解的图形（li2.m)helpbesselBESSELBesselfunctionsofvariouskinds.BesselfunctionsaresolutionstoBessel'sdifferentialequationoforderNU:222x*y''+x*y'+(x-nu)*y=0ThereareseveralfunctionsavailabletoproducesolutionstoBessel'sequations.Theseare:BESSELJ(NU,Z)Besse

8、lfunc