[理学]平面曲线的弧长.ppt

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1、§3平面曲线的弧长§4旋转曲面的面积§1平面图形的面积§5定积分在物理中的应用§2由平行截面面积求体积第十章定积分的应用§6定积分的近似计算§1平面图形的面积三、极坐标系情形二、参数方程一、直角坐标系情形曲边梯形的面积一、直角坐标系情形曲边梯形的面积讨论：由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、y=d所围成的图形的面积S如何求？Oxycdx=y(y)x=j(y)答案：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线Sx=a、x=b所围成的图形的面积为abxyOS1则椭圆的面积为解：设椭圆在第一象限的面积为S1，x1O-11y解：由对称性，图形面积是第一象限部

2、分的两倍。S=2[]例3计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积。8y-22x2O444(8,4)(2,-2)解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间[2，4]。=18。二、参数方程椭圆的参数方程解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．三、极坐标系情形曲边扇形的面积面积元素解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知例7解：xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为回顾曲边梯形求面积的问题补充:定积分的微元法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值abxyo提示面积元素微元法的一般步骤：这个

3、方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。选为积分变量解两曲线的交点面积元素微元法求平面图形的面积举例选为积分变量解两曲线的交点于是所求面积选为积分变量两曲线的交点解求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结作业:P2421-6一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积§2由平行截面面积求体积三、小结旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积Oxbay旋转体：由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形

4、绕x轴旋转一周而成的立体。yf(x)讨论：旋转体的体积怎样求？答案：xyo旋转体的体积为解：椭圆绕x轴旋转产生的旋转体的体积：xyOab分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。解直线方程为解解补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为二、已知平行截面面积的立体的体积设一立体在x轴上的投影区间为[a,b]，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。(3)令l=max{Dxi}，则立体体积为(1)在[a,b]内插入分点：a=x0

5、似值S(xi)Dxi。将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值xOax1xi-1xixnb二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解：例8立体体积交点旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结作业:P2461-6一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形§10.3平面曲线的弧长三、参数方程情形四、极坐标情形一、平面曲线弧长的概念9.3求平面曲线的弧长二、直

6、角坐标情形弧长元素弧长例1计算曲线上相应于x从a到b的一段弧的长度.所求弧长为解解曲线弧为三、参数方程情形弧长解第一象限部分的弧长根据对称性星形线的参数方程为解:证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为四、极坐标情形弧长解解平面曲线弧长的概念五、小结求弧长的公式弧微分的概念极坐标系下参数方程情形下直角坐标系下思考题思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．作业:P2521;3.10.4旋转曲面的面积通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确

7、定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？一定积分的元素法(或微元法)为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1.分割：任意划分[a,b]为n个小区间step2.近似：微元法step3.求和：step4.取极限：分析：在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：1。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关;2。对[a