分形理论的详细介绍.ppt

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1、分形理论——非线性科学三大理论前沿之一前言一、非线性复杂系统（一）什么是分形（FRACTAL）（二）自相似性（三）标度不变性二、非欧氏几何学（分形几何学）三、分形理论的应用结束语分形理论——非线性科学三大理论前沿之一前言自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的，而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个例子。在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一种复杂现象，非线性关系更是常见。客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上是非线性的”。但以往

2、人们对复杂事物的认识总是通过还原论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时，在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系

3、。目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议论文集和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及分形理论和应用的论文。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看，所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电子技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美学、思维、音乐、艺术等。分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中，它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生

4、命力。一、非线性复杂系统（一）什么是分形（fractal）“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英文中frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就有了“日月光明，分形变化”的语句。人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，

5、科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧几里德几何学是无能为力的。图1.1布达拉宫中藏族壁画中的云的形状图1.2日本传统绘画中对海浪的描述图1.3山脉的复杂形态另外，在科学研究中，对许多

6、非规则性对象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几何。下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解，但不够精确，也不够数学化。定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论是放大还是缩小，

7、甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。分形具有广阔的应用前景,在分形发展的过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。分形作为一种新的概念和方法正在许多领域应用探索。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。正因为分形饱含哲理，概念新颖，且应用前景宽广，才能引起人们的浓厚兴趣。（二）自相似性分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间

8、或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存