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1、第八讲递推关系的求解定义1:令h0,h1,h2,…,hn,…是一个数列,若存在量a1,a2,…,ak和bn(ak≠0,每个量是常数或依赖于n的数)使得:hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn(n≥k)则称序列满足k阶线性递推关系.若bn=0,称齐次的;若a1,a2,…,ak取常数,称常系数的.8.1常系数齐次递推关系求解8.1常系数齐次递推关系求解定理令q为一个非零数,则hn=qn是常系数线性齐次递推关系hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k(ak≠0,n≥k)(1)的解,当
2、且仅当q是多项式方程xk-a1xk-1-a2xk-2-…-ak=0(2)的一个根.若多项式方程有k个不同的根q1,q2,…,qk,则hn=c1q1n+c2q2n+…+ckqkn(3)是(1)的一般解:无论给定h0,h1,…,hk-1什么初始值,都存在c1,c2,…,ck使得(3)式是满足(1)式和初始条件的唯一的序列.8.1常系数齐次递推关系求解例求解递推关系的通解.解:特征方程为解之得特征根为所以通解为其中为任意常数.8.1常系数齐次递推关系求解定理令q1,q2,…,qt为常系数线性齐次递推关系:hn=
3、a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k(n≥k)的特征方程的互异的根,此时,如果qi是si重根,则该递推关系对qi的部分一般解为:Hn(i)=c1qin+c2nqin+…+csinSi-1qin递推关系的一般解为:hn=Hn(1)+Hn(2)+…+Hn(t)8.1常系数齐次递推关系求解例求解递推关系的通解.解:特征方程为特征根是二重根所以通解为其中为任意常数.8.1常系数齐次递推关系求解例求解递推关系解：特征方程为特征根所以递推关系的通解为8.1常系数齐次递推关系求解由初始条件得下列方程组解得所以特
4、解为8.1常系数齐次递推关系求解一般方法总结:(1)求齐次关系的一般解；(2)求非齐次关系的一个特解；(3)将一般解和特解相加,即为非齐次的通解；通过初始条件确定一般解中出现的常系数值.8.1常系数齐次递推关系求解8.1常系数齐次递推关系求解根据非齐次项bn来尝试某些类型的特解:若bn=d(常数),尝试hn=r(1不是特征根)或hn=rnm(1是m重特征根);若bn=dn(d是常数),尝试hn=pdn(d不是特征根)或hn=pnmdn(d是m重特征根);若bn=dnPr(n)(d是常数),尝试hn=nmd
5、nQr(n)(d是m重特征根)或hn=dnQr(n)(d不是特征根)(Pr(n)和Qr(n)都是关于n的r次多项式;8.1常系数齐次递推关系求解例求非齐次方程的通解.解:其相应齐次方程的特征方程是特征根为由于是特征根,且重数为,所以特解可设为其中为待顶系数,将代入原非齐次方程得解之得因此通解为8.1常系数齐次递推关系求解例求递推关系的通解。解：所对应齐次递推关系的特征根为因为，为其二重特征根，所以特解可设为代入原方程可得：得因此通解为8.1常系数齐次递推关系求解例求的通解.解:求得其相应齐次方程的特征根为
6、此例中不是特征根,故特解可设为代入原齐次方程,整理可得8.1常系数齐次递推关系求解比较等式两边同类项的系数,可得因此,非齐次方程的通解为其中为任意常数.8.1常系数齐次递推关系求解8.1常系数齐次递推关系求解阶常系数线性递推关系，用上面的方法求其通项未必总是可能，特别是当阶数较大时。这时我们就要寻求另外的求解方法——迭代与归纳对于8.2迭代与归纳例求解递推关系解：这是常系数非齐次线性递推关系。这里用迭代法来求，即反复利用递推关系式进行迭代，有8.2迭代与归纳例求解递推关系解：这是非常系数的递推关系。用迭代
7、法：8.2迭代与归纳8.3差分本节将介绍差分表，并利用差分表可计算通项公式,还可将多项式表示为广义组合数之和。如此的表示法可用来计算前个正整数次幂之和。考虑数列令数列称为数列(2.4.1)(2.4.1)的1阶差分.再令数列称为数列(2.4.1)的2阶差分。8.3差分一般地，令数列称为数列(2.4.1)的阶差分。8.3差分约定，而称数列为其本身的0阶差分。将数列的各阶差分依次排列如下：称数列(2.4.1)的差分表.8.3差分例写出的差分表。解:的差分表为:8.3差分定理设是一个数列，则8.3差分例解:的差分
8、表为:8.3差分定理设是次多项式，是整数，则当时，的阶差分全为0，即8.3差分定理设是次多项式，而则8.3差分例将多项式表示成的形式。解：的差分表为：则8.3差分定理设是次多项式，而则8.3差分例对正整数，求解：令的差分表为:8.3差分由定理得8.3差分
