9-4重积分应用.ppt

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1、第四节重积分的应用一、问题的提出二、重积分在几何上的应用四、小结三、重积分在物理上的应用一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分.素，记为1.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性3.所求量的积分表达式为元素法也可推广到三重积分.2.在D内任取一个直径很小的闭区域,相应地部分量可近似地表示为的形式,其中这个称为所求量U的元(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域的立体的体积为:二、重积分在几何上的应用１．设曲面的方程为：如图，(

2、三)曲面的面积5曲面S的面积元素曲面S的面积公式所以因为所以所以下面给出曲面S的面积公式曲面S上点M处的切平面的法向量为因为dσ为dA在xOy面上的投影３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解D1解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为oxyz解例小结：2.确定投影域Dxy.1.确定曲面单值函数z=f(x,y)3.曲面面积公式求曲面面积的步骤13因曲面方程为所以,oxzyD解截下的有限曲面片的面积.被柱面求曲面a练习曲面面积公式(一)、质心三、重积分在物

3、理上的应用质点系的总质量对y轴的静力矩对x轴的静力矩当薄片是均匀的，质心称为形心.由元素法解解(二)、转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于原点的转动惯量解解27用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力在三个坐标轴上的投影Fx,Fy,Fz元素.(1)平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为假定续,计算该平面薄片对位于z轴上的点M0(0,0,a)处的单位质点的引力.薄片中dσ的部分对该质点的引力的大小近似地为在D上连引力(三)、引力28G为引

4、力常数.解由积分区域的对称性知所求引力为(2)物体对质点的引力例解由球体的对称性及质量分布均匀性知所求引力沿z轴的分量为几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）四、小结思考题薄片关于轴对称思考题解答