第0 22_04讲高斯分布.pdf

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1、4高斯分布随机变量及其性质中心极限定理高斯分布的随机变量N维高斯随机变量的统计独立特性高斯随机变量的线性变换高斯分布的随机变量的条件分布和边缘分布4.1引言．中心极限定理给定n个独立的随机变量xi,1=,2,?，它们的和为：x=xx+++?x，这个随i12n2222机变量的均值为η=+++ηη?η，方差为σ=+++σσ?σ，在一定的条件下，12n12n当n趋于无穷时，x的概率密度函数f(x)趋向于具有相同均值和方差的高斯(正态)分布：2()x−η1−2fx()≈e2σσπ2中心极限定理逼近的性质以及对一个给定误差所需的随机变量的数目n依赖于

2、概率密度函数f()x。i4.2高斯分布的随机变量典型高斯分布的随机变量的概率密度与特征函数的描述。f()x，ξ∞juξjuxΦ=ξξ()uEe{}=∫efx()dx−∞4.2.1一元高斯随机变量一元高斯随机变量Ｎ(0,1)，均值为零、方差为1，其概率密度和特征函数：2x1−f(x)=e2ξ2π2u−Φ(u)=e2ξ22一元高斯随机变量N(μ,σ)，均值为μ、方差为σ，其概率密度和特征函数：2(x−μ)1−2f(x)=e2σξ22πσ22σujμu−Φ(u)=e2ξ4.2.2二元高斯随机变量二元高斯随机变量ξ,ξ，均值为零、协方差矩阵为，12

3、⎛1r⎞−11⎛⎞1−r2B=⎜⎟，B=⎜⎟，B=1−r⎜⎟2⎝r1⎠1−r⎝⎠−r1其二元概率密度和特征函数为1⎛122⎞f(x,x)=exp⎜−[x−2rxx+x]⎟ξ1ξ212r2⎜2(1−r2)1122⎟2π1−⎝⎠⎛122⎞Φξ1ξ2(u1,u2)=exp⎜−[u1+2ru1u2+u2]⎟⎝2⎠二元高斯随机变量ξ,ξ，其均值、协方差矩阵为，12⎛ξ1⎞⎛μ1⎞E⎜⎟=⎜⎟=μ,⎜⎟⎜⎟ξμ⎝2⎠⎝2⎠2⎛σrσσ⎞⎜112⎟222B=，B=−σσ(1r)⎜rσσσ2⎟12⎝122⎠2−11⎛⎞σ21−rσσ2B=⎜⎟σσ22()1

4、−r2⎜⎟⎝⎠−rσσσ21212121⎛⎞1σσ−rσ112=⎜⎟()1−r2⎜⎟⎝⎠−rσσ1σ2122其二元概率密度和特征函数为1fx(,)y=×ξξ12221πσσ−r12⎛⎞⎡⎤221⎛⎞⎛⎞xx−−μμ⎛⎞x−μ⎛⎞x−μexp⎜⎟−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟112r1122⎜⎟⎜⎟222⎜⎟2(1−r)⎢⎥⎝⎠⎝⎠σσ⎝⎠σ⎝⎠σ⎝⎠⎣⎦1122⎛()12222⎞Φξη(u1,u2)=exp⎜jμ1u1+μ2u2−[σ1u1+2rσ1σ2u1u2+σ2u2]⎟⎝2⎠4.2.3n元高斯随机变量n元高斯随机变量ξ，其均值、协方差矩阵（正定的

5、）为，⎛⎞μ1⎛⎞bb1112?b1n⎜⎟⎜⎟μbb?bμ==⎜⎟21,B⎜⎟2222n⎜⎟@⎜⎟@@@⎜⎟⎜⎟μbb?b⎝⎠n⎝⎠nn12nn其n元概率密度和特征函数为11⎛⎞T−1fξ()xx=−1/2exp⎜⎟()()−μBx−μ⎡⎤n⎝⎠2()2πB⎣⎦⎛⎞TT1Φ=()expUj⎜⎟μuu−Buξ⎝⎠2其中，()TTx=xx?x，u=(uu?u)12n12nT考虑到矩阵是B正定对称的，则存在一个非奇异矩阵L，使得B=LL，作线性变换L，−1y=L(x−μ)，x=Ly+μ，XX−1t−1t−1−1−1t−1B=(LL)=(L)⋅L=

6、(L)LT−1Tt−1−1(x−μ)B(x−μ)=(x−μ)(L)⋅L(x−μ)XXXX−1T−1=[L(x−μ)][L(x−μ)]XXT=yy∂x1/2对应这个变换的雅可比行列式是=L=B∂y1⎛1T−1⎞1/2fη(Y)=n1/2exp⎜−(x−μX)B(x−μX)⎟⋅B[]()2πB⎝2⎠1⎛1T⎞=exp⎜−yy⎟n1/22[]()2π⎝⎠N1⎛12⎞=n1/2exp⎜−∑yn⎟[]()2π⎝2n=1⎠显然有∞∞∞∞?f(X)dX=?f(Y)dY∫∫ξ∫∫η−∞−∞−∞−∞∞∞=?f(Y)dydy?dy=1∫∫η12N−∞−∞n元高

7、斯随机变量的特征函数的计算考虑以下的矩阵运算TTTTjux=ju(Ly+μ)=juLy+juμXXTT=jSy+juμXTTT其中：S=uL,S=LuT1T−1jux−(x−μ)B(x−μ)XX2TT=jux−yy/2TTT=juμ+jSy−yy/2XTTT=juμ−(y−jS)(y−jS)/2−SS/2XN元高斯随机变量的特征函数是:∞∞TTΦ=ξξ()uuEj{}exp(x)=∫∫?exp(jfdux)()xx−∞−∞∞∞T11⎛⎞T−1=−?exp(jux)exp⎜⎟()()x−μBdx−μx∫∫1/2⎡⎤n⎝⎠2−∞−∞()2πB⎣

8、⎦∞∞11⎛⎞TT−1=−?exp⎜⎟jBux()()x−μx−μdx∫∫1/2⎡⎤n⎝⎠2−∞−∞()2πB⎣⎦∞∞1TT=−?exp[jSuμS/2]∫∫1/2Xn−∞−∞⎡