定积分不等式证明的两种方法_刘春新.pdf

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1、第27卷第5期河南科学Vol.27No.52009年5月HENANSCIENCEMay2009文章编号：1004-3918（2009）05-0517-03定积分不等式证明的两种方法刘春新，姚怡（黄河水利职业技术学院，河南开封475004）摘要：给出定积分，二次累次定积分不等式的两种证明方法.关键词：定积分不等式；二次累次不等式；定积分；泰勒公式；柯西-许瓦兹不等式中图分类号：O178文献标识码：A定积分不等式证明的方法已有很多，如：122①a＞0，则a+≥2；②a+b≥2ab；abbb222③柯西-许瓦兹不

2、等式：［乙（fx）g（x）dx］≤［乙f（x）dx］［乙g（x）dx］，其中（fx）g（x）在［a，b］上连续.aaa具体见文献［1-2］.本文介绍利用泰勒公式和化二次积分为二重积分两种方法.1利用泰勒公式证明定积分不等式如果函数（fx）的二阶和二阶以上导数存在且有界，可利用泰勒公式进行证明.例1：设（fx）≥0，f（″x）≤0，对坌x∈［a，b］成立.b2求证：（fx）≤乙（fx）dx.b-aa证明：将（fx）在t∈［a，b］处展成一阶泰勒公式12（fx）=（ft）+f（′t）（x-t）+f（″ξ）（x-

3、t），ξ介于x与t之间，2!因为f（″x）≤0，所以f（″ξ）≤0，于是（fx）≤（ft）+f（′t）（x-t），两边在［a，b］上对t积分得bb（b-a）（fx）≤乙（ft）dt+乙（ft）·（x-t）dt，aa即bbbb（b-a）（fx）≤乙f（′t）dt+（x-t）f（′t）│a+乙f（′t）dt=2乙f（′t）dt+（x-b）（fb）-（x-a）（fa），aaa故得b2乙（ft）dt≥（b-a）（fx）+（b-x）（fb）+（x-a）（fa），a由于（fx）≥0，（fa）≥0，（fb）≥0，x-a>

4、0，b-x>0，故b2乙（fx）dx≥（b-a）（fx）.a即收稿日期:2009-03-21作者简介:刘春新（1968-），女，河南太康人，讲师，从事高等数学教学研究工作.-518-河南科学第27卷第5期b2（fx）≤乙（fx）dx.b-aa2将二次累次不等式定积分化为二重积分来证明采用这种方法时，如果被积函数满足单调性，则可以从差式出发进行推导.例2：设函数（fx）是在［0，1］上单调减少且恒大于零的连续函数.1122乙xf（x）dx乙f（x）dx00求证：≤.11乙xf（x）dx乙（fx）dx00证明：

5、因为（fx）在［0，1］上单调减少，且（fx）>0，所以1122乙xf（x）dx乙f（x）dx11110≤0圳乙xf（2x）dx乙（fx）dx≤乙xf（x）dx乙f（2x）dx，110000乙xf（x）dx乙（fx）dx00即111122乙xf（x）dx乙f（x）dx-乙xf（x）dx乙（fx）dx≥0，0000令111122I=乙xf（x）dx乙f（x）dx-乙xf（x）dx乙（fx）dx=0000111122乙xf（x）dx乙f（y）dy-乙（fx）dx乙yf（y）dy=000012乙f（y）（fx）（

6、x-y）dxdy，（1）0又111111222I=乙yf（y）dy乙f（x）dx-乙（fy）dy乙xf（x）dx=乙乙（fy）f（x）（y-x）dxdy.（2）000000（1）＋（2）得112I=乙乙（fx）（fy）（x-y）［（fy）-（fx）］dxdy.00由题设知（fx）>0，且在［0，1］上单调，所以当y≥x时（fy）≤（fx），故2I<0，即I>0，也即1122乙xf（x）dx乙f（x）dx00≤11乙xf（x）ds乙（fx）dx00得证.例3：设p（x），（fx），g（x）是［a，b］上的连续

7、函数，且在［a，b］上p（x）＞0，（fx），g（x）为单调递增.bbbb求证：乙p（x）（fx）dx乙p（x）g（x）dx≤乙p（x）dx乙p（x）（fx）g（x）dx.aaaa证明：令bbbbI=乙p（x）dx乙p（x）（fx）g（x）dx-乙p（x）（fx）dx乙p（x）g（x）dx=aaaabbbb乙p（x）dx乙p（y）（fy）g（y）dy-乙p（x）（fx）dx乙p（y）g（y）dy=aaaabb乙乙p（x）g（y）p（y）［（fy）-（fx）］dxdy，（3）aa同理2009年5月刘春新：定积

8、分不等式证明的两种方法-519-bbbbI=乙p（y）dy乙p（x）（fx）g（x）dx-乙p（y）（fy）dy乙p（x）g（x）dx=aaaabb乙乙p（y）p（x）（gx）［（fx）-（fy）］dxdy.（4）aabb（3）＋（4）得2I=乙乙p（x）p（y）［（fy）-（fx）］［g（y）-g（x）］dxdy.aa因为（fx），g（y）同为单调增函数p（x），p（y）>0，［（fy）-（fx）］［g（y）-