资源描述:
《数学物理方程期末试卷与答案分析.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人:欧峥1、长度为l的弦左端开始时自由,以后受到强度为Asint的力的作用,右端系在弹性系数为k的弹性支承上面;初始位移为(x),初始速度为(x).试写出相应的定解问题。(10分)2、长为l的均匀杆,侧面绝热,一端温度为0度,另一端有已知的恒定热流进入,x(lx)设单位时间流入单位截面积的热量为q,杆的初始温度分布是,试写出2其定解问题。(10分)3、试用分离变量法求定解问题(10分):2uu2,0x4,t0txu0,u0,x0x4u2xt0.4、分离变量法求定解问题(10分)222u
2、ausinxcosx,(0xl,t0)ttxxllu(0,t)3,u(l,t)6x4u(x,0)31,u(x,0)sinxtll5、利用行波法,求解波动方程的特征问题(又称古尔沙问题)(10分):22u2ua22txu(x)xat0u(x).xat0(0)(0)16、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题(10分)22u2u2a2cosx,x,t0txuusin2x,0t0t0t7、用积分变换法求解定解问题(10分):2u1,x0,
3、y0xyux0y1,u1,y08、用积分变换法求解定解问题(10分):2uau,xR,t0ttxxu(x,0)sinx,u(x,0)0t9、用格林函数法求解定解问题(10分):22uu0,y0,22xyuf(x),x.y010、写出格林函数公式(三维)及满足的条件,并解释其物理意义。(10分)2答案及分析1、解:这是弦的自由振动,其位移函数u(x,t)满足2uau,(2分)ttxx2T其中a.由于左端开始时自由,以后受到强度为Asint的力的作用,所以u(0,0)0,Tu(0,t)Asint0,
4、t0,xxAsint因此u(0,t),t0.(2分)xT又右端系在弹性系数为k的弹性支承上面,所以Tu(l,t)ku(l,t)0,即Tu(l,t)ku(l,t)0.(2分)xx而初始条件为u(x),u(x).(2分)t0tt0因此,相应的定解问题为2uau,0xl,t0,ttxxAsintu(0,t),Tu(l,t)ku(l,t)0,t0.(2分)xxTu(x),u(x).t0tt02、解:侧面绝热,方程为2uau,0xl,t0(3分)txx边界条件为qu0,u,t0(3分)x0xxlk初始条件为
5、x(lx)u,0xl(3分)t02因此,相应的定解问题为:32uau,0xl,t0txxqu0,u,t0x0xxl(1分)kx(lx)u,0xlt02u(x,t)X(x)T(t)3、解令(2分),代入原方程中得到两个常微分方程:'''T(t)T(t)0X(x)X(x)0X(0)X(4)0,(2分),由边界条件得到,222n2对的情况讨论,只有当0时才有非零解,令,得到42为22nntX(x)BsinnnT(t)T(t)C;e16特征值,特征函数4(1分),再解,得到nn(222ntnxu(x,t)
6、(Ce16sin,n分),于是n14(1分)再由初始条件得到24n16n1C2xsinxdx(1)n404n(1分),所以原定解问题的解为22nt16nnxu(x,t)(1)1e16sin,n1n4(1分)4、解:令u(x,t)V(x,t)W(x)(1分)将其代入定解问题可以得到:2VaV,(0xl,t0)ttxxV(0,t)0,V(l,t)0.....(1)(1分)x4V(x,0)31W(x),V(x,0)sinxtll222aW(x)sinxcosx0ll(2)(1分)
7、W(0)3,W(l)62l4x(2)的解为:W(x)sinx31(2分)2232all4对于(1),由分离变量法可得一般解为natnatnxV(x,t)ancosbnsinsin(2分)n1lll由初始条件可求得:2l4al4at4xV(x,t)costsinsin(2分)2232al4all所以,原定解问题的解为:22l4