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1、第二章Logistic映射和混沌(一维离散动力系统和混沌)本章主要内容一、Logistic映射二、Logistic映射的多样形态及转化三、周期3意味混沌四、Henon映射附简单的线性离散系统：储蓄模型Xn+1=f(x)=µXnnµ=1+rr：利息率10.90.80.70.60.50.40.30.20.10050100150r=−0.0143.532.521.510.50050100150r=0.01线性离散系统：无复杂现象一、Logistic映射1、数学模型Xn+1=f(x)=µXn(1−Xn)n（2.1）Xn∈[0,1]其中：状态量µ∈[0,4]系统控制参数Logistic映射
2、2、生态背景（May“虫口”模型）R.May[美国]于1963建立，理想化生态模型，考察相对封闭环境中，某种昆虫数目的逐年变化，并对昆虫数目逐年预测。昆虫繁衍方式：每年春末孵化，夏末秋初产卵后（上一代）死亡。下一代在第二年重复同样的过程，如此周而复始繁衍生息。Logistic映射3、系统的最终状态（概况）对给定系统，取控制参数µ不同的值，给定不同的初始条件，数值计算并作图，可粗略了解系统最终状态的大致情况。数值结果表明，给定不同的参数值，Logistic映射系统演化的最终状态(迭代步数n足够大)呈现出多样性。Logistic映射（1）µ=0.5,x0=0.9,xn→0xn0.80
3、.60.40.20n020406080100图2.1µ=0.5,x0=0.9系统演化Logistic映射（2）µ=2.0,x=0.9,x→0.50nxn0.90.80.70.60.50.40.30.2n020406080100图2.2µ=2.0,x=0.9系统演化0Logistic映射（3）µ=3.2,x=0.9,x→0.51,0.7990nxn0.90.80.70.60.50.40.3n020406080100图2.3µ=3.2,x0=0.9系统演化Logistic映射（4）µ=3.54,x=0.90xn0.90.80.70.60.50.4n050100150200250300
4、图2.4µ=3.54,x0=0.9系统演化Logistic映射（5）µ=3.55,x=0.90xn0.90.80.70.60.50.4n0100200300400500图2.5µ=3.55,x=0.9系统演化0Logistic映射（6）µ=3.566,x0=0.9xn0.90.80.70.60.50.4n0100200300400500图2.6µ=3.566,x=0.9系统演化0Logistic映射（7）µ=4.0,x0=0.9,xn→chaos,randomxn10.80.60.40.20n0100200300400500图2.7µ=4.0,x=0.9系统演化0Logistic
5、映射当µ=4.0时，系统最终状态两个特点：a、给定初值，即使迭代步数n足够大，系统最终的演化状态不确定；b、初始条件敏感：即初始条件有微小的差别，迭代一定次数后，系统状态有很大的差别。（如下图，两初值分别为x0=0.4000,0.4001）。混沌Logistic映射xn1x=0.40.80µ=4.00.60.4图2.8a0.20n01020304050xn10.8x=0.40010.60µ=4.00.40.2图2.8b0n01020304050Logistic映射4、迭代的几何表示在µ=0.5，µ=2.0和µ=3.2三种情况下迭代过程的几何图形如下：xn+1x=x0.5n+1n0
6、.40.3µ=0.50.20.1图2.9xn0.20.40.60.81Logistic映射1xx=xn+1n+1n0.8µ=2.0*0.6x0.4图2.100.2ox0.20.40.60.81nxn+11*x=xxn+1nB0.8µ=3.20.6xC*0.4xA0.2图2.11xno0.20.40.60.81Logistic映射*图2.10中，系统最终趋向状态x，而非趋向状态O，几何上，曲线xn+1=f(xn)=µxn(1−xn)在此两点的斜率不同，满足：df(x)对状态*：xρ=<1dxx=x*df(x)对状态O：ρ=>1dxx=0Logistic映射图2.11中，在状态O和X
7、，曲线斜率满足：Cdf(x)df(x)ρ=>1ρ=>1dxdxX=0X=XC而对周期2解XA和XB，满足df(x)df(x)⋅<1dxdxX=XAX=XBLogistic映射思考题：试比较如下两个系统的区别i、Xn+1=µXnii、Xn+1=µXn(1−Xn)二、Logistic映射的多样形态及转化1、Logistic映射的多样形态A.定常状态（steadystates）：x=f(x)=µx(1−x)n+1nnn定常状态x满足如下关系：x=f(x)=µx(1−x)∗1∗x=1−解
