第2讲 曲线和曲面的矢量方程和参数方程.pdf

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1、CAD/CAM技术基础第二讲：曲线和曲面的基本理论（曲线和曲面的矢量方程和参数方程）2009年3月1/52本讲任务主题:怎样用参数来表示曲线曲面？矢量方程参数方程？1、从形状数学基本要求出发导入曲线曲面的基本表示方法2、从矢量、位置矢量引出矢量方程、矢函数的概念3、单参数、双参数的含义，参数域的含义。4、曲线的两个性能参数－－导矢、切矢的概念，曲率和挠率*的概念。5、曲面论（矢量方程、曲面上的曲线、切矢、法矢）2/521上课内容一、关于形状数学描述的基本要求二、CAGD中关于矢量的背景知识三、曲线和曲面的参数表示四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）五、曲面论（矢量方程、曲面上的曲

2、线、切矢、法矢）六、曲线、曲面表示的几何不变性七、参数化与参数变换3/52一、关于形状数学描述的基本要求ß要在计算机内表示某一工业产品的形状，其形状的数学描述应保留产品形状的尽可能多的性质。ß从计算机对形状处理、便于形状信息传递与产品数据交换的角度来看，应满足下列要求：4/522一、关于形状数学描述的基本要求1.唯一性ß自由型曲线曲面传统上采用模线样板法按模拟量传递，不能保证形状定义的唯一性，才转而采用数学描述。可见唯一性是对形状数学描述的首项要求。ß唯一性对所采用的数学方法的要求是，由已给定的有限信息决定的形状应是唯一的。ß在参数表示下的曲线曲面，需要附加某些限制，一般地也能得到

3、满足。5/52一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性ß当用有限的信息决定一个形状，例如三点决定一条抛物线，四点决定一条三次曲线时，如果这些点的相对位置确定后，我们要求所决定的形状也就固定下来，它不应随所取的坐标系改变而改变。ß若采用显函数表示，就不具有这样的性质。6/523一、关于形状数学描述的基本要求ß三点(0,0)，(1,0.5)，(2,0)二次多项式函数2y=−0.5x+xß把这三点绕原点逆时针旋转45度后。8211y=−x+x323ß两者形状有很大的不同7/52一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性ß欲保持曲线形状不变，虽然可将原曲线上点逐点旋转得到，但曲线上有

4、无限多点．要逐点进行就行不通了。即使旋转有限多个点，其计算量也远比仅仅旋转三个数据点大得多。ß如果采用的数学方法不具有几何不变性，那么用同样的数学方法去拟合在不同测量坐标系下测量得的同一组数据点(不考虑测量误差)就会得到不同形状的拟合曲线。显然这是我们所不希望的。ß标量函数不具有几何不变性。参数曲线曲面表示在8/52某些情况下具有几何不变性。4一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性ß上述三点，分别赋于参数u＝0，0.5，1，则可得过这三点的一条唯一的参数三次曲线。ßp(u)＝2(u-0.5)(u-1)p0-4u(u-1)p1+2u(u-0.5)p2，其中p0,p1,p2,分别

5、为上述三点的位置矢量。ß无论将这三点怎样同时旋转和平移，它们间的相对位置保持不变。9/52一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性ß参数曲线曲面表示并不总具有几何不变性。22ß如：p(u)=(1-u)p0+up1,0≤u≤1。10/525一、关于形状数学描述的基本要求3.易于定界ß产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。这个要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。ß假如在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，一些y值又对应多个x值。ß若用标量函数描述这样一条曲线，要界定它的范围会是很困难的。但若用参数矢函数p(u)＝[x(u)y(u)]描述，就可以简单地

6、用a≤u≤b界定它的范围。这里u＝a与u＝b分别为曲线在首末两端点的参数值。11/52ff((xx,,yy)=0)=0xx11<

7、机处理简单易行ß使之易于在计算机上实现和易于推广应用。15/52一、关于形状数学描述的基本要求ß从形状表示与设计的角度来看，形状数学描述还必需满足下列要求：1.具有丰富的表达力与灵活地响应的能力形状的数学描述必须具有灵活地响应设计员自由地绘制任意形状的能力。2．易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。3.易于实现对形状的控制。4.几何直观。16/528曲线的表示1.一般表示形式pi()[(),(),()]tx==tytztx()ty+()tzj+()tk，tt∈[,