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1、桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案第四章功率谱估计§4.1引言研究信号与系统有两类基本方法:时域法和频域法.由于随机信号不存在傅氏变换,因此在频域主要研究它的功率谱.功率谱的两种定义:(1)定义之一——维纳-辛钦定理jω根据维纳-辛钦定理,信号x(n)的功率谱P(e)和它的自相关函xx数Rxx(m)构成一对傅氏变换:∞jω−jωm该式建立了平稳随机序正变换Pxx(e)=∑Rxx(m)e(4.1.1)列的自相关函数与功率m=−∞谱密度之间的关系.分别由Wiener(1930)和1π逆变换R(m)=P(ejω)ejωmdω(4.1.2)
2、Khinchin(1934)建立.xx∫−πxx2π(2)定义之二式(4.1.1)中的Rxx(m)通常根据自相关函数定义计算,设x(n)为复信号,则∗R(m)=E[x(n)x(n+m)](4.1.3)xx对于平稳随机信号,由于服从各态历经定理,因而集合平均可以用时间平均代替.因此上式可表示为N1∗Rxx(m)=lim∑x(n)x(n+m)(4.1.4)N→∞2N+1n=−Njω将上式代入式(4.1.1),可得P(e)的另一定义:xx2⎡1N⎤jω−jωnPxx(e)=limE⎢∑x(n)e⎥(4.1.5)N→∞⎢2N+1n=−N⎥⎣⎦通常可能获
3、得的观测数据x(n)为有限个,因此只能计算自相关函数和功率谱的估值,这就是功率谱估计问题.功率谱估计的两种方法:功率谱的估计方法有多种,一般可分为两大类:经典谱估计和现代谱估计.[附注]韩传久编第20-1页桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案§4.2经典谱估计经典谱估计建立在传统的傅里叶变换基础之上.通常有两种方法:BT法和周期图法.4.2.1BT法1958年由布莱克曼(R.Blackman)和杜基(J.Tukey)提出.取二人姓氏的第1个字母,故称BT法.又称自BT法先是根据有限个观测数据估计自相关函数,然后再利用傅氏相关法.变换得
4、到功率谱估值.通常采用有偏自相关函数估计(方差较小),公式为N−
5、m
6、−11∗该式在无偏估计的基础Rˆxx(m)=∑x(n)x(n+m),
7、m
8、≤N−1(4.2.1)上通过三角加窗得到的.Nn=0Rˆxx(m)称为取样自相关函数,这种估计是渐近一致估计.对上式进行傅氏变换,得BT法的功率谱估计值为Mjω−jωmPˆxx(e)=∑Rˆxx(m)e,
9、M
10、≤N−1(4.2.2)m=−M为了进一步减小估计方差,还可对上式进行加窗处理.可以证明,按上式估计是非一致估计,因而不是好的估计.4.2.2周期图法1.周期图定义周期图法是通过对随机数据直接进行傅
11、里叶变换的一种功率谱估计方法.1965年Cooley和Tukey提出FFT以后,使DFT的运算量显著降低,从而为周期图法的应用创造了条件.根据定义,x(n)的自相关函数可表示为x(n)与x(−n)的卷积,即∞Rxx(m)=∑x(n)x(m+n)n=−∞∞=∑x(n)x[m−(−n)]=x(m)∗x(−m)n=−∞据此,式(4.2.1)可写成1Rˆ(m)=[x(m)∗x(−m)],
12、m
13、≤N−1xxN[附注]韩传久编第20-2页桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案上式的傅氏变换用符号IN(ω)表示,则1jω∗jω1jω2IN(ω)=[X
14、(e)⋅X(e)]=X(e)(4.2.3)NNjω其中,X(e)是x(n)的N点DFT:N−1jω−jωnX(e)=∑x(n)e(4.2.4)n=0jωjω由于X(e)是周期函数,所以用式(4.2.3)估计P(e),称为“周期图xx法”,可用FFT实现.实际上,根据功率谱的第二种定义式:2⎡1N⎤jω−jωnPxx(e)=limE⎢∑x(n)e⎥N→∞⎢2N+1n=−N⎥⎣⎦若忽略求统计平均的运算,并设观测数据为:x(n)0≤n≤N−1,所得结果与式(4.2.3)相同.2.周期图与BT法的等价性BT估计算法可归结为:由随机序列{x(0),x(1
15、),?,x(N−1)},首先求得有偏自相关函数估计N−
16、m
17、−11Rˆ(m)=x(n)x(m+n),
18、m
19、≤N−1xx∑Nn=0然后求Rˆxx(m)的傅氏变换:jωPˆxx(e)=DFT[Rˆxx(m)]周期图法可归结为:由随机序列{x(0),x(1),?,x(N−1)},首先求x(n)的傅氏变换jωX(e)=DFT[x(n)]再求周期图12jωI(ω)=X(e)NN即取多个样本傅氏变换幅值模的平方,再求平均值作为功率谱估计.利用以上关系式可以证明,周期图就是BT法中有偏自相关估值Rˆ(m)所得的功率谱估计.xx*证明如下:[附注]韩传久编第2
20、0-3页桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案由周期图表达式2N−11−jωnIN(ω)=∑x(n)eNn=0N−1N−11−jωk∗jωn=
