01历届中国数学奥林匹克全国中学生数学冬令营试题解答[1986-2005].pdf

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1、中中中国国国数数数学学学奥奥奥林林林匹匹匹克克克(CMO)历历历届届届试试试题题题及及及解解解答答答1986-2005第一届中国数学奥林匹克(1986年)天津南开大学1.已知a1;a2;:::;an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足x1+x2+¢¢¢+xn=1的任意非负实数x1;x2;:::;xn;有不等式ax+ax+¢¢¢+ax>ax2+ax2+¢¢¢+ax21122nn1122nn成立.请证明上述命题及其逆命题.证明:原命题的证明:由06x61;x¡x2>0;x>x2(i=1;2;:::;n).iiiii(

2、1)若a>0(i=1;2;:::;n),则显然有ax+ax+¢¢¢+ax>ax2+ax2+¢¢¢+ax2;i1122nn1122nn(2)否则至少存在一个ai<0,由对称性不妨设a1<0.又因为a1;a2;:::;an中任两数之和非负,所以ai+a1>0;ai>¡a1>0(i=2;3;:::;n).)ax+ax+¢¢¢+ax¡ax2¡ax2¡¢¢¢¡ax21122nn1122nn=a(x¡x2)+a(x¡x2)+¢¢¢+a(x¡x2)111222nnn>a(x¡x2)+(¡a)(x¡x2)+¢¢¢+(¡a)(x¡x2)111

3、1221nn=(¡a)(x2¡x2¡¢¢¢¡x2¡x+x+¢¢¢+x)112n12n=(¡a)(x2¡x+(1¡x)¡x2¡¢¢¢¡x2)11112n=(¡a)((1¡x)2¡x2¡¢¢¢¡x2)112n=(¡a)((x+¢¢¢+x)2¡x2¡¢¢¢¡x2)>012n2nP最后一步是由于x;x;:::;x>0;(x+¢¢¢+x)2=x2+¢¢¢+x2+xx>x2+¢¢¢+x2.23n2n2nij2n26i1(a+a).ij2k2ij

4、4ij)ai+aj>0,即任两数之和非负.证毕.2.在三角形ABC中,BC边上的高AD=12,A的平分线AE=13,设BC边上的中线AF=m,问m在什么范围内取值时,A分别为锐角,直角,钝角?解:设O为4ABC的外心,不妨设AB>AC,B为锐角.则OF垂直平分线段BC,由外心的性质,C为锐角时,OAB=OBA=1(180±¡AOB)=21(180±¡2C)=90±¡C.2又因为AD?BC,)CAD=90±¡C,)OAB=DAC.类似地,当C为直角或钝角时也有OAB=DAC.由AE平分BAC,

5、BAE=CAE.)OAE=DAE.(由于F;D在E两侧).A为锐角时,O;A在BC同侧,FAEOAE=DAE.1p由正弦定理sinFAE=FE£AD.其中DE=AE2¡AD2=5;sinDAEDEAFppFE=FD¡DE=AF2¡AD2¡DE=m2¡122¡5>0.)m>13,p且A为锐角等价于m2¡122¡5£12<1;5mpA为直角等价于m2¡122¡5£12=1;5mpA为钝

6、角等价于m2¡122¡5£12>1.5m解得当132028时,A为钝角.1193.设z1;z2;:::;zn为复数,满足jz1j+jz2j+¢¢¢+jznj=1:求证:上述n个复数中,必存在若干个复数,它们的和的模不小于1.6证明:设zk=xk+yki(xk;yk2R;k=1;2:::;n)将所有的zk分为两组X,Y.若jxkj>jykj,则将zk放入X中;若jykj>jxkj,则将zk放入Y中.其中必有一组中所有复数模长之和不小于1.不妨设为X

7、.2再将X中的复数分为两组A,B.若xk>0,则将zk放入A中;若xk60,则将zk放入B中.其中必有一组中的所有复数摸长之和不小于1.不妨设为A.4PPp则jzj>1,即x2+y2>1.k4kk4zk2Azk2App而对于z2A,x2>y2,x2+y262x.kkkkkkPPPPP)x>p1.)jzj=jx+iyj>x>p1.kkkkk4242zkp2APzk2Azk2Azk2Azk2A而42<6,)jzj>1.k6zk2A即A中复数之和的模不小于1.证毕.6另证:设zk=xk+yki(xk;yk2R;k=1;2:::;n

8、)p则jzkj=x2+y2>jxkj+jykj.kkPn)jxkj+jykj>1.k=1PPPP)jxkj+jxkj+jykj+jykj>1.xk>0xk<0yk>0yk<0P其中必有一项不小于1,不妨设为第一项,则jxj>1.4k4xk>0PPPP)jzj=jx+iyj>jxj>1>1.