资源描述:
《2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)第一天福州1月12日上午8∶00~12∶30每题21分一、实数aa12,,,Lan满足aa12+++=Lan0,求证:n−12n2max(aaki)≤−∑()ai+1.1≤≤kn3i=1证明只需对任意1≤≤kn,证明不等式成立即可.记daak=−,1=,2,,Ln−1,则kkk+1aa=,kkaad=−,aadd=−−,,LLaadd=−−−−d,kk+1kk++21kkknkkk+1n−1aadaadd=+,,=++LL,aadd=++++d,kk−−11kkk−−21kk−211kkk−−21把上面这n个等式相加,
2、并利用aa+++=La0可得12nna−−()(1nkd−−−nk)d−−+−LLd(1k)(2d+−k)d++=d0.kkknk+−11−1k−21由Cauchy不等式可得22()()(nakkk=−+()nkdnk−−+1)d+−11LL+−dn(1k−−)dk−1(2k−−)dk−2−d1kn−−−11kn⎛⎞22⎛2⎞≤+⎜⎟∑∑∑iid⎜i⎟⎝⎠iii===111⎝⎠nn−−11n−1⎛⎞22⎛⎞nn(1−−)(21n)⎛2⎞≤=⎜⎟∑∑id⎜⎟ii⎜∑d⎟⎝⎠ii==11⎝⎠6⎝i=1⎠3n−1n⎛⎞2≤⎜⎟∑di,3⎝⎠i=1n−12n2所以aaki≤−∑()a
3、i+1.3i=1aaa二、正整数aa,,,La(可以有相同的)使得12,,,L2005两122006aaa232006两不相等.问:aa1,,,2La2006中最少有多少个不同的数?解答案:aa,,,La中最少有46个互不相同的数.122006由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44+1=1981个,故aa,,,La中互不相同的数大于45.122006下面构造一个例子,说明46是可以取到的.设pp12,,,Lp46为46个互不相同的素数,构造aa1,,,2La2006如下:pppppppppppppp,,,,,,,,,,,,,,L,11213231434241ppp
4、ppp,,,,,,,,,,,LLpppp,112kk−−kkkk2k1p,,,,,,,,,,pppppLpppp,14544454345452451p,,,,,,,,ppppLppp,4645464446462246这2006个正整数满足要求.所以aa,,,La中最少有46个互不相同的数.1220062三、正整数m,n,k满足:mn=k++k3,证明不定方程22x+=11ym422和x+11yn=4中至少有一个有奇数解(,)xy.证明首先我们证明如下一个引理:不定方程22x+=11y4m①或有奇数解(,)xy,或有满足00x≡(2kym+1)(mod)②00的偶数解(,)xy
5、,其中k是整数.00引理的证明考虑如下表示mx++(2ky1)x,ym为整数,且0≤≤x2,0≤≤y,2⎛⎞⎡⎤m则共有()⎡⎤⎣⎦21m++⎜⎟⎜⎟⎢⎥1>m个表示,因此存在整数x12,0xm∈⎡⎤⎣⎦,2,⎝⎠⎣⎦2⎡⎤myy12,0∈⎢,⎥,满足(,)(,)x11yx≠22y,且⎣⎦2x++≡++(2kyxky1)(21)(mod)m,1122这表明x≡+(2kym1)(mod),③这里x=−xxyyy,=−。由此可得12212222x≡+≡(2kyym1)−11(mod),22m故x+=11ykm,因为xm≤≤2,y,所以22211x+<+<11ymm47m,4222
6、2于是1≤≤k6.因为m为奇数,x+=11ym2,x+=11y6m显然没有整数解.22(1)若x+11y=m,则x=2,xy=2y是方程①满足②的解.0022(2)若x+=11y4m,则x=xyy,=是方程①满足②的解.0022222(3)若x+=11y3m,则()x±11yx+=11()my34⋅m.首先假设3m,若x0(mod3),y0(mod3),且xy(mod3),则x−11yx+yxy==,④0033是方程①满足②的解.若xy≡0(mod3),则x+11yy−xxy==,⑤0033是方程①满足②的解.现在假设3m,则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解.若方程①有偶数解
7、x==2,xy2y,则01012222x11+=⇔=±+11ym36mxy()51111115(yx1m1).因为x1,y1的奇偶性不同,所以51x11±1y,5y1mx1都为奇数.51x−1yy5+x1111若xy≡(mod3),则xy==,是方程①的一奇数解.003351x+1yy5−x1111若xy(mod3),则xy==,是方程①的一奇数解.11003322222(4)x+=11y5m,则54⋅=mxy()311m+113(yx±).当5m时,若xy≡±1(mod5),≡m2(mod5),或xy