资源描述：
《2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2006中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天福州1月12日上午8∶00～12∶30每题21分一、实数aa12,,,Lan满足aa12+++=Lan0，求证：n−12n2max(aaki)≤−∑()ai+1．1≤≤kn3i=1证明只需对任意1≤≤kn，证明不等式成立即可．记daak=−,1=,2,,Ln−1，则kkk+1aa=，kkaad=−，aadd=−−,,LLaadd=−−−−d，kk+1kk++21kkknkkk+1n−1aadaadd=+,,=++LL,aadd=++++d，kk−−11kkk−−21kk−211kkk−−21把上面这n个等式相加，
2、并利用aa+++=La0可得12nna−−()(1nkd−−−nk)d−−+−LLd(1k)(2d+−k)d++=d0．kkknk+−11−1k−21由Cauchy不等式可得22()()(nakkk=−+()nkdnk−−+1)d+−11LL+−dn(1k−−)dk−1(2k−−)dk−2−d1kn−−−11kn⎛⎞22⎛2⎞≤+⎜⎟∑∑∑iid⎜i⎟⎝⎠iii===111⎝⎠nn−−11n−1⎛⎞22⎛⎞nn(1−−)(21n)⎛2⎞≤=⎜⎟∑∑id⎜⎟ii⎜∑d⎟⎝⎠ii==11⎝⎠6⎝i=1⎠3n−1n⎛⎞2≤⎜⎟∑di，3⎝⎠i=1n−12n2所以aaki≤−∑()a
3、i+1．3i=1aaa二、正整数aa,,,La（可以有相同的）使得12,,,L2005两122006aaa232006两不相等．问：aa1,,,2La2006中最少有多少个不同的数？解答案：aa,,,La中最少有46个互不相同的数．122006由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故aa,,,La中互不相同的数大于45．122006下面构造一个例子，说明46是可以取到的．设pp12,,,Lp46为46个互不相同的素数，构造aa1,,,2La2006如下：pppppppppppppp,,,,,,,,,,,,,,L，11213231434241ppp
4、ppp,,,,,,,,,,,LLpppp，112kk−−kkkk2k1p,,,,,,,,,,pppppLpppp，14544454345452451p,,,,,,,,ppppLppp，4645464446462246这2006个正整数满足要求．所以aa,,,La中最少有46个互不相同的数．1220062三、正整数m，n，k满足：mn=k++k3，证明不定方程22x+=11ym422和x+11yn=4中至少有一个有奇数解(,)xy．证明首先我们证明如下一个引理：不定方程22x+=11y4m①或有奇数解(,)xy，或有满足00x≡(2kym+1)(mod)②00的偶数解(,)xy
5、，其中k是整数．00引理的证明考虑如下表示mx++(2ky1)x,ym为整数，且0≤≤x2,0≤≤y，2⎛⎞⎡⎤m则共有()⎡⎤⎣⎦21m++⎜⎟⎜⎟⎢⎥1>m个表示，因此存在整数x12,0xm∈⎡⎤⎣⎦,2，⎝⎠⎣⎦2⎡⎤myy12,0∈⎢,⎥，满足(,)(,)x11yx≠22y，且⎣⎦2x++≡++(2kyxky1)(21)(mod)m，1122这表明x≡+(2kym1)(mod)，③这里x=−xxyyy,=−。由此可得12212222x≡+≡(2kyym1)−11(mod)，22m故x+=11ykm，因为xm≤≤2,y，所以22211x+<+<11ymm47m，4222
6、2于是1≤≤k6．因为m为奇数，x+=11ym2，x+=11y6m显然没有整数解．22（1）若x+11y=m，则x=2,xy=2y是方程①满足②的解．0022（2）若x+=11y4m，则x=xyy,=是方程①满足②的解．0022222（3）若x+=11y3m，则()x±11yx+=11()my34⋅m．首先假设3m，若x0(mod3),y0(mod3)，且xy(mod3)，则x−11yx+yxy==,④0033是方程①满足②的解．若xy≡0(mod3)，则x+11yy−xxy==,⑤0033是方程①满足②的解．现在假设3m，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
7、x==2,xy2y，则01012222x11+=⇔=±+11ym36mxy()51111115(yx1m1)．因为x1,y1的奇偶性不同，所以51x11±1y，5y1mx1都为奇数．51x−1yy5+x1111若xy≡(mod3)，则xy==,是方程①的一奇数解．003351x+1yy5−x1111若xy(mod3)，则xy==,是方程①的一奇数解．11003322222（4）x+=11y5m，则54⋅=mxy()311m+113(yx±)．当5m时，若xy≡±1(mod5),≡m2(mod5)，或xy
