泰勒公式在数值计算中的应用.pdf

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1、泰勒公式在数值计算中的应用李珂（宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013）摘要:本文从泰勒公式的基本内容出发，综述了泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、判定Newton迭代收敛速度等方面的应用.关键词:泰勒公式；数值计算；应用泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是简单函数，它的研究对我们来说是很熟悉的，并且研究也是非常方便的.在处理某些复杂的问题时，如果将所研究的对象转化为我们熟悉的多项式,那么问题就会比较简单和方便.通过对泰勒公式和极限运算的简单学习，我们已经掌握初等函数在某一

2、点的泰勒展式，但是对于一些高阶的求极限运算，直接求极限有难度，可是利用泰勒公式却能很方便快捷的得出答案.所以对泰勒公式的更深一步的学习很有实际意义.本文介绍了泰勒公式的基本概念,相关定理及余项表达式等内容，然后对泰勒公式在数值计算中的应用进行了较全面地总结,并且收集了相应的范例,使读者更好地去理解和感悟泰勒公式在数值计算中的重要性.1泰勒公式[1]定义1对于任意函数f(x)，若在点x存在直到n阶的导数，即可构造一0个n次多项式nf'(x0)f"(x0)2f(x0)nT(x)f(x)(xx)(

3、xx)(xx),（1）n00001!2!n!称式（1）为函数f(x)在点x处的泰勒多项式，T(x)的各项系数称为泰勒系0n数.1.1泰勒公式的两种余项1.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1函数f(x)在点x上存在直至n阶的导函数，则有0nf(x)T(x)o((xx)),n0即(n)'f"(x0)2f(x0)nnf(x)f(x)f(x)(xx)(xx)(xx)o((xx))，（2）0000002!n!称式（2）为函数fx在点x处的泰勒公式，Rx()fx()T

4、x()称为泰勒余0nn项，形如所以式（2）又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.1.1.2带有拉格朗日型余项泰勒公式定理2若函数f(x)在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在(n1)阶导数，则对任意给定的x，x[a,b]，至少存在一点(a,b)，使0得f(x0)2f(x0)3f(x)f(x)f(x)(xx)(xx)(xx)000002!3!n(n1)f(x0)nf()(n1)(xx)(xx)，（3）00n!(n1)!式（3）称

5、泰勒公式，余项为(n1)f()(n1)R(x)f(x)T(x)(xx)，nn0(n1)!x(xx)，（01)00称为拉格朗日型余项，所以式（3）又称带有拉格朗日型余项泰勒公式.当x0时，得泰勒公式(n)(n1)f"(0)2f(0)nf(x)n1f(x)f(0)f'(0)xxxx（01)（4）2!n!(n1)!式（4）（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.1.1.3泰勒公式的应用一些常见的麦克劳林公式[2]利用泰勒公式进行计算时，通常是比较特殊

6、的，就像麦克劳林公式一样，需要熟练掌握一些公式，可以有效提高计算效率.2nxxxxn（1）e1o(x),x0.1!2!n!32n1xn1x2n（2）sinxx(1)o(x),x0.3!(2n1)!24n2nxx(1)x2n1（3）cosx1o(x),x0.2!4!(2n)!234nxxxn1xn（4）ln(1x)x(1)o(x),x0.234n(1)2(1)(n1)nn（5）(1x)1xx

7、xo(x),2!n!x0.2泰勒公式的应用2.1泰勒公式在近似计算中的应用当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出近似值时，这时泰勒公式是解决这种问题的一个好方法.[1]-6例1（1）计算e的值,使其误差不超过10.（2）证明数e为无理数.解（1）利用2nxxxxen1e1xx，（01）（5）2!n!(n1)!当x1时有11ee11，2!n!(n1)!e3故R(1),n(n1)!(n1)!显然当n=9时，可得336R(1)

8、10，910!3628800从而略去R（1）而求得e得近似值为9111e112.718285.2！3！9！（2）由（5）式得，en!e(n!n!34nn1)，（6）n1p倘若e为有理数，即e(p,q为正整数)，则当nq时，n!e为正整数，从qx式（6）左边为整数.但由于e是单调增函数，而01，所以1e3，将上式代入式（6）右端，就得到ee3.n1n1n1e于是对任意正整数n2，都有(0,1)，从