量子统计物理学基础.pdf

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1、第三章量子统计物理学基础•热力学和统计物理：热力学：从若干（宏观）经验定律出发，通过数学上的推导获得系统的宏观性质；统计物理：从单个微观粒子的力学运动规律出发，加上统计的假设，来描述宏观物理量的行为。宏观量是相应微观物理量的统计平均值。•经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子）力学规律。•平衡态统计物理和非平衡态统计物理：研究系统与时间无关的性质或系统的时间演化行为（如前两章我们已讲述的）从现在开始我们的讨论仅限于平衡态统计物理。3.1经典统计系综先从经典统计出发：给定系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。对由N个粒子组成的系统，可记为(q1

2、,q2,…qN;p1,p2,…pN)=(p,q)，其中(qi,pi)为第i个粒子的坐标和动量。(p,q)是6N维的相空间(Γ空间)的一个代表点，称为相点，它代表系统的一个微观状态。代表点在Γ空间的运动反映系统微观状态的演化。系统的动力学函数或力学量：表征系统的状态，并能加以观测的量，它是q,p的函数，可记为b(q,p)。其中，表征系统能量的动力学函数H(q,p)非常重要，称为哈密顿量(Hamiltonian)。系统的运动方程（哈密顿正则方程）：∂H(q,p)∂H(q,p)q&=,p&=−,其中i=1,K,3N.ii∂p∂qii任意力学量b(q,p)的运动方程:3N⎛∂⎞db(q

3、,p)∂b∂H∂bH=∑⎜⎜⋅−⋅⎟⎟≡{b,H}.dtn=1⎝∂qn∂pn∂pn∂qn⎠上面后两式称为力学量b和H的泊松符号(Poissonbracket)。统计系综：统计物理认为系统的动力学状态遵从统计规律性（对比牛顿力学的确定性）。即在一定的宏观条件下，某一时刻系统以一定的概率处于某一状态或某种状态范围内。并假设，宏观量是相应微观量对系统可能处的所有动力学状态的统计平均值。如何获得统计平均值？大量的重复测量！统计系综：由大量处于相同宏观条件下，性质完全相同而各处于某一微观状态、并各自独立的系统的集合。系综在相空间里的几何表示是无数多个相点的集合。密度函数D(q,p,t)：

4、相点(q,p)附近单位相体积元内相点的数目。特别地，概率密度函数ρ(q,p,t)满足归一化条件（D=Nρ,N为总粒子数）：∫ρ(q,p,t)dqdp=1.刘维尔定理系综的概率密度函数在运动中不变，即dρ/dt=0.∂ρ在体积元dΩ=dqdp里，经过时间dt后，代表点的增加为dtdΩ.∂t而通过平面qi(对应的面积为dA=dq1…dqi‐1dqi+1dqfdp1…dpf)进入的代表点为ρq&idtdA,通过平面qi+dqi走出的代表点为：⎡∂⎤(ρq&)dtdA=(ρq&)+(ρq&)dqdtdA,iqi+dqi⎢iqiii⎥∂q⎣i⎦∂因此净进入的代表点数为：−(ρq&)dtd

5、Ω.考虑所有qi,pi我们发现i∂qi∂ρ⎡∂∂⎤dtdΩ=−∑⎢(ρq&i)+(ρp&i)⎥dtdΩ.∂ti⎣∂qi∂pi⎦∂q&∂p&利用正则方程及其推论：ii=0,我们发现（刘维尔定理）：+∂q∂piidρ∂ρ⎡∂ρ∂ρ⎤∂ρ=+∑⎢q&i+p&i⎥=+{ρ,H}=0.dt∂ti⎣∂qi∂pi⎦∂t3.2量子统计系综由N个粒子组成的系统的状态用波函数来描写：ψ(q1,q2,…,qN,t)，时刻t在2(q1,q2,…,qN)找到该N个粒子的概率为

6、ψ(q,K,q,t)

7、。1N纯粹系综和混合系综：纯粹系综：每次测量，系综中N个粒子都处于同一态

8、ψ>，可以用单一态矢量来描写：

9、

10、ψ>=∑ciψ

11、i>，这里

12、ψi>是纯态态矢量。i混合系综：每次测量，系统以一定的概率可处于多个态上。混合系综是由若干纯态混合来描写，即参加混合的态：

13、ψ1>,

14、ψ2>,...,

15、ψi>,...各态混合的概率：P1,P2,,…,Pi,…且∑Pi=1.i几个例子：1.考虑位置空间x，找到粒子处于x的概率密度为：纯粹系综：22各

16、ψ间有干涉。W(x)=

17、

18、ψ>

19、=

20、∑ci

21、i>

22、.i>i2混合系综：W(x)=∑Pi

23、

24、i>

25、.各

26、ψi>间没有干涉。i2.算符的平均值：考虑算符Aˆ，其平均值为：纯粹系综：=<ψ

27、Aˆ

28、ψ>.各

29、ψi>间有干涉。混合系综：

30、>=∑Pi<ψi

31、Aˆ

32、ψi>=∑PiAi,各

33、ψi>间没有干涉。ii统计算符统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵形式称为密度矩阵。对混合系综，我们定义统计算符为：ρˆ=∑

34、ψ>P<ψ

35、.若

36、ϕn>为完全正iiii交归一的基矢（∑

37、ϕn><ϕn

38、=1），我们有：n=∑Pi<ψi

39、Aˆ

40、ψi>=∑∑Pi<ψi

41、ϕn><ϕn

42、Aˆ

43、ψi>ini=∑∑<ϕn

44、Aˆ

45、ψi>Pi<ψi

46、ϕn>=∑<ϕn

47、Aˆρˆ

48、ϕn>=Tr(Aˆρˆ).nin特点：1.若

49、ψi>