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1、第四卷第期东北林业大学学报年月计算抛物线及椭圆弧长的近似公式熊玉学刘庆照东北林业大学川【摘要】关于抛物线和椭圆弧长的计算公式在数学手册和有关用表中早就可见。但实际上用起来很麻烦其精确值也较难达到然而在实际上遇到的问题常常并不需要很高的精度本文从既能简化计算又能达到一定精度的设想,通过找经验公式的方法给出了计葬机抛物线及椭园弧长的近似公式,并给出了常用区间上计算抛物线和椭圆弧长的一次式和二次式主题词抛物线椭圆弧长近似公式问题的提出及解决方法抛物线和椭圆弧长的计算在很多实际工作中都需用到。如建筑上拱桥的设计,工业零件的设计等首先来看一下传统的计算方法。,,则弧设抛物线的方程
2、为见图长命有如下计算公式、一·〕扣厚碎丁浑厂万如设称为拱跨度为,称为矢高为,则有二,一〔〔’·,,”合了等命警了警椭圆的方程式是共里见图,设长轴为,短轴为,则其弧长的计一算公式是一、’’,,可了卜收稿日期年月日本篇贵任编辑杨惠美第期熊玉学等计算抛物线及椭圆弧长的近似公式可查数位积分表得到其弧长‘图,,,,从式可见其计算过程是比较复杂的而对椭圆则还需查表不大务便在实际上遇到的间题有时并不需要很高的精度,而希望公式简单方便。这就是本文笔者的出发点具体的做法与找经验公式类似周知,最小二乘法是一种常用的有效手段,构造出一种线性模型也是人们传统的思路。这里采用的是数理统计中的线性
3、逐步回归方法。对应于设其模型是、︸、声、龟石厂‘心」一又寸应于其模型是一。月石丑其中,,。是三个待定系数为了进一步提高精度,相应地设定其二次式分别为,一。。,‘、产、口、寻了、‘月产、、二一。口,。,口誓其中也是待定系数。据此编制相应的计算程序。先,随后用或式计算出的弧长来作为因变量再进行回归解方程的计算。考虑到对不同的拱跨与矢高的、短比位对椭圆是长轴之比值会影响到公式的精度,因此,进行了分组计算东北林业大学学报第卷近似公式又寸,,,各分,每种模型四组侮组分别取个样木进行计算如取一,乙一,代人得一,类似地可得到个值,,以此作为因变量再根据在计算机上编制出计算程序进行逐步
4、回归解方程得在区‘、、、、,,、、。,‘。,,,,‘、,,入一,,,问“·”“·’上的抛物线近似计算一公式一次式··’·全一十,其它公式都同样获得见表、表月表抛物线弧长近似公式近似公式适用范围相对误差一毛《￡幻门刃月一‘了吕十十加,次一斗闷刃续。式一门目刃咔习任心‘,,,,‘一一共《艺,十,,,〕冲门,十艺月石斗,一二儿一二次式广一《叼」刃十。。十。。。。一妥一尽续儿一。。,。,。一续答自表椭圆弧长近似公式近似公式适用范围相对误差诵一月一月《‘一次刁月续式月王刀。,‘,,·,‘,‘。,·‘,,‘,·,,,,,‘、蚤‘。式二次一专,,,,一通。·、。·叹艺得月十口十石,二
5、二一告万。·‘,尹刀告由表,中可看出,对于在常用区间中的抛物线弧长计算,若要求其相对误差不一第期熊玉学等算抛物线及椭圆弧长的近似公式,,。超过千分之一则用一次式即可在改用二次式后则能使相对误差不超过十万分之三由于篇幅关系,只给出组数据的计算结果。结论对比原公式和近似公式的计算结果,可以看出近似公式计算简捷,也无需查表,且其精度可满足要求。在近似公式中又以一次式最简单,但精度不如二次式高不过由于表中的公式不必专门记忆,故公式稍多一些无关紧要。可以增加分组缩小比例区问卜数目来提高一些精度。总之二者各有利弊,可相机择之。此公式实用价值较强参考文献数学手册编写组数学手册北京人民
6、教育出版社,·,甲,,,,,,行,‘
