资源描述：
《高等代数习题-二次型.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第九章二次型例1.(I)用非退化线性替换化-++422xxxxxx二次型为标准型,并利用矩阵121323验算所得结果；(II)把上述二次型进一步化为规范型,分实系数、复系数两种情形;并写出所作的非退化线性替换。解：(I)用配方法.令ìïxyy=+,ï112ïïíxyy=-,(1)212ïïï=ïxy,î33222222则原式=-+44yy+4yy=-4y+44yyy-++yy1213113332222=--(2yyyy)4++;(2)1332再令ìïz=-2,yyï113ïïízy=,(3)22ïïï=ïzy,î33222则得原式=-z++4zz.
2、123此即原二次型的标准型.将式(3)代入式(1),得ìï11ïx=z++zz,ï1123ï22ïïïï11íx=z-+zz,(4)2123ï22ïïïxz=,ï33ïïïî由式(4)得替换矩阵éù11êú1êú22êúêú11T=-êú1,êú22êúêú001êúëû１éù11éù111êúêú0êú22êú22éù0-21êúêúêúêú11验算:T'AT=êú1--10êú-2011êúêúêúêú22êú11êúëû110êúêú1êú001êúëû22êúëûéù-100êú=êú040.êúêú001ëûìïzt=,ï13ïï(II)
3、令ízt=/2,得22ïïï=ïzt,î31ìïx=(ttt++)/2,ï1123ïïíx=-+(ttt)/2,2123ïïïïxt=,î31则实二次型的规范形为222fttt=+-；123ìït=w,ï11ïï再令ít=w,得22ïïï=ïti,wî33ìïx=++(wwwi)/2,ï1123ïïíx=-+(wwwi)/2,2123ïïïïx=w,î31则复二次型的规范型为222f=++www.123例2.证明:éùléùliêú1êú1êúlêúlêú2êúi2êú与êúêúOêúOêúêúëûlnêúliëûn合同,其中iiiL是1,2,,L
4、n的一个排列.12n２证明:设两个矩阵分别为AB,,与它们相应的二次型分别为222fxxx=+lllL,A1122nn222fyyy=+lllL.Bii1212inn作非退化的线性替换:yx=(tn=1,2,L,),tit则f化成f,故A与B合同.BA例3、.设A是一个n级矩阵,证明:A是反对称矩阵当且仅当对任一n维向量X,'有XAX=0;证明:必要性.因为AA=-',即a=0,aa=-,iiijji'所以XAX=axx=+()aaxx.ååijijijjiiji,jij¹由于aa+=0,故ijji'XAX=(a+=a)0xx.åijjiijij¹
5、'充分性.设对任给X,有XAX=0,即2axa+(+a)xx+L++()aaxx1111221121nnn1122+axa+(+a)0xx+L+=ax.222233223nnn这说明原式是多元零多项式,故有a=aa=L==0,aa=-,1122nnijji所以AA'=-.'例4、如果A是一个n级对称矩阵,且对任一个n维向量X,有XAX=0,那么A0=.'证明:由于A是对称的,且XAX=0,即2ax++2axx22axx++Laxx1111212131311nn22+ax+2axx+LL+20axx++=ax.222232322nnnnn'这说明XA
6、X为多元零多项式,故有３a=aa=L==0,20a=(i,jn=1,2,L,),1122nnij即有A0=.例5、如果把实n级对称矩阵按合同分类,即两个实n级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同,问共有几类?解：当实对称矩阵A与B合同时,则有éùd1êúdêú2êúêúT''BT==CACd.êúrêú0êúêúêú0ëû反之亦然.下面考虑相应二次型的情况:在d中可分为ir个正，0个负r-11个正，个负M22个正，r-个负11个正，r-个负0个正，r个负共计r+1个类.但秩r又可分别取nn,-1,L,2,1,0,故共有123++++Ln(nn++1)
7、(2)=个类.2222例6、判别99x-++-+12xx48xx130x60xxx71二次型是否正定:112132233解二次型的矩阵为éù99-624êúA=êú--613030.êúêúëû24-3071996-因为990>,>0,
8、
9、0A>,-6130故由定理知,原二次型为正定二次型.４222例7、判别10x+8xx+24xx+2x-+28xxx二次型是否正定:112132233解：二次型的矩阵为éù10412êúA=-4214.êúêúëû12-141因为
10、A
11、0<,由定理知,原二次型非正定.n2例8、判别ååxi+xxij二次型是否正定:
12、i=11£<£ijn解：二次型的矩阵为éù1111Lêú222êúêú1111Lêú222êúA=111.êú1Lêú22
