层次分析法中特征向量法确定权重向量的理论.pdf

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1、1998中国控肇f与决策学术年会论文集层次分析法中特征向量法确定权重向量的理论黄德所张俊学台肥炮兵学院战术教研室。230031)摘要从矩阵理论的角度，^、绍层次分析法中特征向量注(亦称特征根法)确定权重(样序)向量的理论问题·印为什么取判断矩阵的最大正特征撮对应的特征向量作为各因素的权重向量，关键词最大正特征根．权重向量，判断矩阵一．’王1引言’在层次分析法中，建立判断矩阵并由此求下层因素对上层某一因素的权重向量是一个重要环节。目前，从判断矩阵(正互反矩阵)的一致性角度来确定权重向量的方法已有十几种“

2、3，特征向量法(e／J求判断矩阵最大正特征根对应的特征向量作为权重向量)就是其中在算法上比较成熟和稳定的一种。在以往的文献中，只是从判断矩阵的一致性角度，解释为什么由判断矩阵蠼大正特征根对应的特征向量作为因素的权重向量．作者认为，有必要从矩阵理论的角度来阐述特征向量法确定权重向量的理论，这对认识和理解特征向量法确定权重向量的本质，以及提高层次分析法的实用价值都有一定的意义。2特征向量法确定权重向量理论2．1建立数学模型下面以评定m种武器装备性能为饲，建立确定权重向量的数学建模，最后推导出结论；权重向量

3、是判断矩阵(正互反矩阵)的最大正特征根对应的特征向量．首先建立评定武器装备性能的层次结构图(如图1所示)，其次确定准则层各因素(各种性能)对于目标(武器装备总体性能)的权重及方案层各因素(各种武器)对于准则层每一因素的权重，最后综合所得各层权重即得方案层对于日标的权重。圉1评定武矗装备性能层次结构田879现只对确定准则层对于目标层的权重建立数学模型．并证明权重向量是判断矩阵最大正特征根对应的特征向量。至于确定方案层各因素(各种武器)对于准则层每一因素的权重可同理进行，权重综合可参考有关文献。考虑准则层

4、各种因素(性能)且，岛．风，B．和丑；对于目标(总体性能指标)的权重。设B，对于总体性能的权重为q，啦反映了因素B．(i一1，⋯．5)的重要程度。记∞=(“i，吡，031．Ⅲ‘，“})7，钟>05∑姒一1t—l则一就是准则层各因素对于目标的权重向量。这是一个未知量，如何确定这个量呢?”采用两两比较的方法(或其它有效的方法)构造判断矩阵A。具体做法如下：对于总体性能．且与马比较，分别得到5个相对分值4．／“(j一1，⋯，5)。若4．，>1，则表示B．比毋重要，且重要程度是E的口。，倍；若q≤1，则表示B

5、，比B。重要，且重要程度是B．的1／a“(，=l，⋯，5)倍。令A=(ao)5x"4d；1，口u一1／如，f，J=1，2，3，4，5则^称为判断矩阵．由判断矩阵A的元素可以确定鼠对于总体性能的综合分值，记为Y。(i=I，⋯，5)．2)建立数学模型．从上面建立判断矩阵的过程可以看出．对于目标，B．豹重要性由E(J一1，⋯，5)综合体现．由于因素占。占总体性能指标的权重为q(j一1，2，3，4，5)，所以用数量口。，⋯础s的加权平均值作为因素最在总体性能指标中的综合分值，即Y．2d．1吡+口。2峨+口。3

6、叫I+ⅡH吐+d．5甜s(1)∞综合反映了实际分值B．．令Y=(yl，儿⋯YY‘，YI)7(2)称y为5个因素的分值向量．显然，分值y。的大小反映因素B。(i=1．．．·，5)在总体性能指标中的重要程度，所以y也是反映各因素占总体性能指标重要程度的向量，亦郎相对总体性能指标而言，y也是各因素的一个捧序向量．既然向量m与Y都是各因素对总体性能指标的排序向量，所以二者应成正比例关系，即存在正常数^，使Y一地(3)令A=“u)。。。，A是正互反矩阵．由式(1)，(2)有A∞=抽“)(4)式说明^恰好是判断矩

7、阵A的正特征值．“是^对应的特征向量，并且可以推广到具有n个因素的一般情况．2．2^是矩阵以的模最大特征值引理l设A=o“)⋯是正矩阵，∞=(咄，吡，⋯，峨)T虬>0且∑咄；1。令‘』=l。l!警(>0)(i，J一1，2'．．Ⅲ)，E=(～)。，则：1)矩阵E与以相似52)若4是正互反矩阵，则E也是正互反矩阵．证明1)因为880A=詈ett毫e-z⋯詈‰釉》⋯》i％五‘。⋯i‰=diag(￡o】，∞2．⋯，∞．)E[diag(oul，“‘，⋯，∞。)]所以A与E相似。2)因为e。。=％}(>o)，所以

8、。；警=老=而1一i1即E；(E。)一是正互反矩阵。(证毕)由引理l可知，E与A有相同的特征值。引理2”1设A。，t．．．·．t是矩阵A=(n．，)。的，1个特征根，令P(4)=maxI^f．P(A)称为矩阵A的谱半径。若A是正矩阵(即元素全为正)，则：1)e(A)为A的特征根，且其对应的特征向量的分量可以全为正；2)P(A)是』4的单特征根；3)⋯rain擎，≤P(A)⋯max。％(6)定理1设A=如。，)⋯是正矩阵。m=(Ⅲ。，嘶，⋯，％)7，蛳>o