《高等代数》在数学建模中的应用举例.pdf

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1、万方数据《高等代数》在数学建模巾响应用举例石家庄铁道大学数理系郭秀英田瑞兰[摘要】高等代数是数学专业的一门重要的基础课，它对学生思维能力、逻辑推理能力和运算能力的培养，以及后续课程的学习起着非常重要的作用。但是这门课程比较抽象，概念多，理论证明比较麻烦，对刚上大学的学生来说很难接受，通过多年的教学实践发现，其中很关键的一点是缺乏应用实例，学生被枯燥的概念和繁杂的定理所烦恼，渐渐没了学习的兴趣和动力，如果在教学中介绍大型的数学建模例子会占用过多时间，学时又受到约束，所以如果能选择合适的实例则会在高等代数的教学中起到

2、启发式的作用，又能让学生体会到高等代数学习的重要性，提高高等代数的趣味性，同时也给学生在以后的建模课程或实际应用中想到用高等代数的知识解决问题给出了指导。本文借助一个经济管理方面的实例和信息安全方面的建模实例进行探讨。[关键词]高等代数信息安全经济管理{1，3,3，15，13，16，12，9，19，8，5，0，20，1，t9，11，27}f1131981、M=旧i!；ii引L1592027)r1一l一11、A=I；三彳三IL-112-1)r91—17、A～=丢Ij。二。≥三。lL-21-13-15)=[罐10-萼

3、6鹭31篓23引782239137104221—6—40、．29—51—43—14／2．特征值和特征向量在管理学中的应用(市场营销调查预测)矩阵的特征值和特征向量是高等代数中的主要内容，教学中通过矩阵的特征多项式和特征根的定义学习，理解特征值与特征向量求解方法。但学生往往很难理解定义中矩阵的特征值的作用，也对复杂的计算产生畏惧，即使学的认真的同学掌握了基本计算但仅仅是掌握的概念和计算，没有对概念本质的理解阻碍了对这门课程的理解和继续学习的兴趣，所以教学中我们找一个和实际生活很接近的实例(市场营销调查预测)，通过具

4、体生活实例的解决问题，同学们看到了特征值和特征向量这部分内容为创建有效的数学模型数学提供了工具，为解决问题提供有效的方法，是数学与其它科学研究的基础和工具。模型2：销售某种产品，调查顾客买该产品的比例。姗沪(幺]其中x(o)表示调查中得到的占有相应产品的市场份额的初始状态，P，表示顾客购买该产品的比例，P；代表顾客不购买该产品的比例，并满足P，+P产1，0≤尸，，P^≤1。X(^)表示k年后市场占有的状态向量。在调查中要调查PI】(在原来购买该产品的顾客中，准备继续购买的比例)、P1：(在原来未购买该产品的人群中

5、，准备购买该产品的人的比例)、P2，(在原来购买该产品的人群中，不打算再购买该产品的人的比例)P。：(原来未购买．将来也不打算购买该产品的人的比例)令P=l<“f“l且满足o≤Pd≤1，>：P。=1＼p23p22)i。,j一-1’则得该产品市场占有份额的动态状态方程为坝点)=PX强一1)又称P为状态转移矩阵，由状态方程可得X(女)=∥X(O)，对于具体数值，如：，P=(：复：弼．25)即，=(湖在该模型中我们需要计算矩阵的高次幂，其中k是任意自然数，实际中如果按矩阵的高次幂运算的定义计算会很繁琐，而且无法通过电脑

6、程序完成模型的机械化计算，由此我们会启发学生有没有其他方法计算矩阵的高次幂?经过运用矩阵特征值以及特征向量理论，同学们会发现可将P相似于对角矩阵A，其中A=C—PC，C是可逆矩阵所以尸6=CAKC一1从而可以简便计算P的高次幂。上例数据经计算可得耶)=(：：；；)这说明按现有情况，该产品5年后市场占有率将下降到不到40％，因此该公司应根据这份预测报告认真分析原因，采取有效措施，保持现有的市场优势。本例把代数的应用进一步扩展，它不一定只局限于数学方面的计算，它也为我们生活中做调查，做市场营销提供了方便。本例中运用到

7、了矩阵特征值以及特征向量及对角矩阵等数学概念，很好的体现了代数在管理学方面的应用。除了简单地应用，根据不同的专业我们还可以引进特征值和特征向量在马尔科夫链中的应用、桥梁临界力模型中的应用等等，引导学生自己根据兴趣去阅读，深刻体会代数课程在其他分支的重要作用。3．结束语高等代数因其抽象性注定了它在其他学科分支的应用的广泛性，教学中通过大量具体应用实例的引入，极大提高了学生学习该课程的兴趣和动力。与此同时我们相应开设数学建模和数学实验课程，同学们积极的在这些课程的学习中寻找代数的应用实例，几门课程相辅相成，学习效率有

8、了很大的提高，一方面提高了学习高等代数的兴趣。另一方面提高了数学应用于其它学科的能力，在全国数学建模竞赛中数学专业的学生也取得了不俗的成绩。的参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编．《高等代数》运(第三版)．北京：高等教育出版社学[2]张禾瑞，郝铜新．高等代数[M]北京：高等教育出版社过[3]陈昭木，陈清华，林亚南等．高等代数[M]福州：福建教育出版来社