高等数学在数学建模中的应用举例

《高等数学在数学建模中的应用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等数学是现代各科知识的理论基础，在数学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生养成数学建模的习惯。暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。高等数学在数学建模中的应用举例某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。例1舰艇的会合令：则上式可简记成：

2、A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母护卫舰θ1θ2即：可化为：记v2/v1=a通常a>1则汇合点p必位于此圆上。（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程）即可求出P点的坐标和θ2的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用例2双层玻璃的功效在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同。不妨可以提出以下假设：1、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。2、室内温度

3、T1与户外温度T2均为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。设玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为θddl室外T2室内T1TaTb由热传导公式θ=kΔT/d解得：此函数的图形为dd室外T2室内T1类似有一般故记h=l/d并令f(h)=01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到美观和使用上的方便，h不必取得过大，例如，可取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的3%。

4、例3崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常

5、数，因而，由牛顿第二定律可得：令k=K/m，解得代入初始条件v(0)=0，得c=－g/k，故有再积分一次，得：若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间进一步深入考虑不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。①多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：将e-kt用泰勒公式展开并令k→0+，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要

6、的时间。为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，还得解一个方程组：这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，则t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。例4录像带还能录多长时间录像机上有一个四位计数器，一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000，到结束时

7、计数为1849，实际走时为185分20秒。我们从0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像机目前的计数为1428，问是否还能录下一个60分钟的节目？rθRl由得到又因和得积分得到即从而有我们希望建立一个录像带已录像时间t与计数器计数n之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首先必须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像带的磁带的厚度是常量，它被绕在一个半径为r的园盘上，见图。磁带转动中的线速度v显然也是常数，否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读数n与转过的圈数有关，从而与转过的角度θ成正比。rθRl

8、此式中的三个参数ω、v和r均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出t与n的函数关系，但效果不佳，故令则可将上式简化为：故令上式又可化简记成t=an2+bnt=an2+bnrθRl上式以a、b为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：从后两式中消去t1，解得a=0.0000291,b=0.04646,故t=0.0000291n2+0.