中考数学复习 探索二次函数综合题解题技巧（三）二次函数中旋转、对称的探究问题练习 鲁教版

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1、探索二次函数综合题解题技巧三二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数。事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多得分、是完全可以做到的。第1小问通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第2—3小问通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态

2、平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。类型三二次函数中旋转、对称的探究问题例1在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′。（1）写出点A、A′、C′的坐标； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值

3、。解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0）， ∴A（m，0），C（0，1）， ∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成， ∴A′（0，m），C′（-1，0）； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0）， ∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；  （3）存在。 ∵点B与点D关于原点对称，B（m，1）， ∴点D的坐标为：（-m，-1）， ∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； 假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上， 则y=-（-m）2+（m-1）×

4、（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， ∵△=22-4×（-2）×1=12＞0， ∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）.方法提炼：★（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）；关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）；关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）；关于直线x=m的对称点为（2m－a，b）；关于直线y=n的对称点为（a，2n－b）；关于点（m，n）的对称点为（2m－a，2n－b）；绕原点逆时针旋转90°的坐标为（－b，a）；绕原点顺时针旋转90°的坐标为（b，－a）；任意两点（x1，y1）和（x2，y2）的中点为（，）。跟踪训练1如图，在平面直角坐标系中，

5、Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．跟踪训练2若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”.抛物线C1(如图1):y1=ax2-2x+c与C2:y2=-x2+2x-5为“友好抛物线”.图1图2(1)求抛物线C1的表达式；(2)点P是抛物线C1上在第四象限的一个动点，过点P作PE⊥x轴，E为垂足，求PE+OE的最大值；(3)如图2，设抛物

6、线C1的顶点为C，点B的坐标为(−1,−4)，连接BC.在C1的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M顺时针旋转90o得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C1上?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.跟踪训练3在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛

7、物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合