线性代数原理的几个应用文献综述

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1、文献综述线性代数原理的几个应用一、前言部分线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机飞速发展并且广泛应用的今天，计算机科学、统计学[1]、生物学、人口迁移模型等无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数

2、正是解决这些问题的有力工具。线性代数课程在大学数学中占有重要的地位，学习线性代数课程，无论是对于比较全面地培养学生的数学思维、提高数学素质还是进一步学习其他课程打下基础，都有着非常重要的理论和现实意义。而我国的线性代数课程偏重于理论的运算验证等，传统的线性代数教材追求逻辑的严密性和理论体系的完整性，重理论而轻视实践，剥离了概念、原理和范例的几何背景与现实意义，导致教学不尽如人意[2]。本文主要利用建模思想应用线性代数知识解决实际问题，即从问题实例出发，建立数学模型[3]，引入线性代数的基本知识点，回到实际应用中去。事实上用这种方式进行教学，可以培养学生的创新能力，提高学生分析和解决问题的能力。

3、实际上线性代数自身理论正是在解决离散数学问题，建立数学模型的过程中发展起来的。通过线性代数的学习，我们发现它和实际生活有着密切的联系。因此本文的写作目的就是把线性代数的有关知识运用到解决实际问题中去。在本文中，我主要通过几个实际例子，建立相应的数学建模进行研究分析。具体方案是先采集大量有关数据，然后运用线性代数原理等知识，借助MATLAB[4]等计算机工具对数据进行处理和分析，最后得到一个最优的策划方案。二、主题部分线性代数作为一个独立的代数学分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常的久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》[5]中，已经作了比较完整的叙

4、述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换[6]，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。　线性代数作为一独立的数学分枝有着自身独特的概念、思想方法和处理问题的手法,其主要特点之一是数学观念新,引入了结构的思想。它更多的是从离散的角度研究客观世界的空间形式和数量关系。而线性代数课程在大学

5、数学中占有重要的地位，它是高等院校普遍开设的一门基础性数学课程，包括矩阵与行列式、矩阵的初等变换与线性方程组、向量的线性相关性与向量空间、特征值与矩阵对角化、二次型、线性空间与线性变换等内容。在教材中把矩阵作为线性代数的主线展开，以后的知识都是以矩阵为线索展开讨论。行列式看成阶方阵按一定规则对应的数；而行列式又用于讨论矩阵的最主要的概念“秩”。维向量当然也是特殊矩阵。通过向量的线性相关性的讨论，又建立起向量组的秩与矩阵的秩的联系。线性方程组的讨论广泛地应用了有关矩阵和向量的结论，线性方程组的结果又用于研究矩阵的特征值与特征向量。[2]而国外教材的顺序[7]先引入线性方程组然后是向量空间、矩阵、

6、行列式……，大体思路是通过向量，引入空间的概念，然后涉及到具体计算后才讲到矩阵，行列式等。国外的这样的顺序更容易让学生“懂”线性代数，让学生理解抽象的意义！而我们硬性引入行列式，矩阵，秩等概念，剩下的就是强调计算，学生学完了也不知到底线性代数是干什么的。这样无异于弱化学生的创造性，削弱主动思考问题的能力。因此线性代数要面向应用，满足应用的需求。线性代数的含义随数学的发展而不断扩大，线性代数在科学研究、经济投入产出[8]、工程技术等领域的应用越来越广泛、深入。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。比如：线性方程组在气象预报中的应

7、用：为了做天气和气象预报，有时往往根据诸多因素最后归结为解一个线性方程组。当然，这种线性方程组在求解时，不能手算而要在电子计算机上进行。线性方程组在国民经济中的应用：为了预测经济形势，利用投入产出经济数学模型，也往往归结为求解一个线性方程组。线性代数在“人口迁移模型[9]”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面有着广泛的应用。本文只举其中的一些知识点：马尔科夫链[10]马尔