2017_18版高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案北师大版选修

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1、第二章圆锥曲线与方程　　　　　　　　　　　　　　　　1　椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1　线段

2、AB

3、＝4，

4、PA

5、＋

6、PB

7、＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)A．2B.C.D．5解析　由于

8、PA

9、＋

10、PB

11、＝6>4＝

12、AB

13、，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的

14、长度的最小值是b＝.答案　C2．求动点坐标例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知

15、PF1

16、＋

17、PF2

18、＝2a＝10，所以

19、PF1

20、·

21、PF2

22、≤2＝2＝25，当且仅当

23、PF1

24、＝

25、PF2

26、时取等号．由解得

27、PF1

28、＝

29、PF2

30、＝5＝a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为P(±3,0)．答案　(±3,0)点评　由椭圆的定义可得“

31、PF1

32、＋

33、PF2

34、＝10”，即两个正数

35、PF1

36、，

37、PF2

38、的和为定值，结合基本不

39、等式可求

40、PF1

41、，

42、PF2

43、积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．3．求焦点三角形面积例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F214＝120°，求△PF1F2的面积．解　由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝1，

44、F1F2

45、＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得

46、PF2

47、2＝

48、PF1

49、2＋

50、F1F2

51、2－2

52、PF1

53、

54、F1F2

55、cos120°，即

56、PF2

57、2＝

58、PF1

59、2＋4＋2

60、PF1

61、，①由椭圆定义，得

62、PF1

63、＋

64、PF2

65、＝4，即

66、PF2

67、＝4－

68、PF1

69、.②将②代入①

70、，得

71、PF1

72、＝.所以S△PF1F2＝

73、PF1

74、·

75、F1F2

76、·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于

77、PF1

78、，

79、PF2

80、的方程组，消去

81、PF2

82、可求

83、PF1

84、.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　解抛物线问题的五个技巧1．设而不求，整体处理例1　已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1,1)平分，求弦PQ所在的直线方程．解　设弦PQ的两个

85、端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y＝－8x1，y＝－8x2.两式相减，得y－y＝－8(x1－x2)，即(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)．∵A是PQ的中点，14∴y1＋y2＝2，即y1－y2＝－4(x1－x2)．∴＝－4，kPQ＝＝－4.故弦PQ所在的直线的方程为y－1＝－4(x＋1)，即4x＋y＋3＝0.2．巧用定义求最值例2　定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，记AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离．解　如图，AA′⊥l，MN⊥l，BB′⊥l，l为抛物线

86、y2＝x的准线，由抛物线方程y2＝x，知2p＝1，＝.设点M到y轴的距离为d，d＝

87、MN

88、－.由抛物线的定义，知

89、AF

90、＝

91、AA′

92、，

93、BF

94、＝

95、BB′

96、.因为AA′，BB′，MN都垂直于准线，所以AA′∥MN∥BB′，所以MN是梯形AA′B′B的中位线．于是

97、MN

98、＝(

99、AA′

100、＋

101、BB′

102、)＝(

103、AF

104、＋

105、BF

106、)．若AB不过焦点，则由三角形的性质，得

107、AF

108、＋

109、BF

110、>

111、AB

112、；若AB过焦点F，则

113、MN

114、＝(

115、AF

116、＋

117、BF

118、)＝

119、AB

120、＝.所以当AB过F时

121、MN

122、最小，此时d也最小，d＝

123、MN

124、－＝

125、－＝.故点M到y轴的最短距离为.3．巧设抛物线的方程例3　抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且被直线y＝x＋1所截得的弦长为，求此抛物线的方程．14解　设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，则有消去y，整理得x2＋(2－a)x＋1＝0.设所截得的弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个实根．由根与系数的关系，得x1＋x2＝a－2，x1x2＝1.由弦长公式，知·＝，即＝，解得a＝－1或a＝5.所以所求抛物线的方程为y2＝－x或y2＝5x.4．巧设弦所在的直线的方程例4　过

126、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2.证明　当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点．因为抛物线的焦点为，所以可设过焦点的直线方程为x－＝my，即x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.5．巧设抛物线上的点的坐标例5　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(P在x轴