2017_18学年高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修

《2017_18学年高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3定积分的简单应用如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝f(x)dx，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝g(x)dx，则所求阴影部分面积为S1－S2.平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝f(x)dx－g(x)dx，f(x)≥g(x)．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋

2、转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．不分割型图形面积的求解[例1]　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路点拨]　画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．8[精解详析]　由得或所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝(－x＋2)dx－(x2－4)dx＝－＝－＝.[一点通]　求由曲线围成图形面积的一般步骤：①根据题意画出图形；②求交点，确定积分上、下限；③确定被积函数；④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定

3、积分，求出结果．1．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)A.　　　　　　　　　　B．1C.D.解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cosxdx＝sinx＝－＝.答案：D2．(山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)A．2B．4C．2D.4解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝8＝4.答案：D3．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y2＝x，

4、y＝x3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组得交点的横坐标x＝0，x＝1，因此所求图形面积为S＝dx－x3dx＝x－x4＝－＝.分割型图形面积的求解[例2]　求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨]　作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]　作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，故所求面积S＝S1＋S2＝dx＋(3－

5、x)dx＝(3x－lnx)＋＝4－ln3.[一点通]　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．84．由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是(　　)A．1B.C.D.2－2解析：S＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)－(cosx＋sinx)＝(－1

6、)－(1－)＝2－2.答案：D5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．解：由得A(1,1)，由得B(2,4)，如图所示所求面积为S＝2xdx－xdx＋2xdx－x2dx＝(2x－x)dx＋(2x－x2)dx＝xdx＋(2x－x2)dx＝x2＋＝.简单几何体的体积的求解[例3]　求抛物线y＝2x2与直线x＝a(a>0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析]　由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V＝π(2x2)2dx＝4πx4dx8＝4π·x5＝πa5.[一点通]　求旋转体的体积的步骤：①

7、建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f(x)．③确定积分上、下限a，b.④计算体积V＝πf2(x)dx.6．y＝sinx(0≤x≤π)和x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为(　　)A．π2B．4π2C.π2D.解析：V＝πsin2xdx＝πdx＝＝.答案：D7．给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC的方程：y＝a.则该旋转体即圆柱的体积为：π×a2dx＝πa2x＝πa3.答案：πa31．求由曲线围

8、成的图形的面积时，若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．2