电磁场与电磁波学习报告

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1、一、圆柱坐标系和球坐标系屮梯度、散度及旋度表达式的推导1、哈密顿算符表达式的推导我们知道在直角坐标系下，哈密顿算符▽的表达式为ddd——eY+——ev+——edxxdx〉dx乂圆柱坐标系和直角坐标系的坐标变换关系如下:x=rcos(py=rsin(pz=zI22厂=+y_y(p=arctan—>xz=z(1.2)英单位向量的变换关系如下:er=excoscp+eysincp%=-exsin(p+eycoscp>(1.3)(1.4)ex-ercos0_%sin0ev=ersin(p+e®cos(p>再根据高等数学中多元复合函数的求导法则可推得:d_ddrd8(p_dx

2、d-ydxdrdxd(pdxdrrd(pr2dd1.=—cos©sin©drd(prd_ddrddtp_dydxdydrdy8(pdydrrd(pr2(1.5)dsin^?+d(p1_・COS(p将式(1.5)和(1.4)代入(1.1)中，可得V=(——cos(psin(percos(p-esincp)drd(pr/8・81.8+(—sin^?+cos(p)(ersin(p+ecoscp)edrd(prdzd1dd=一er+em+一jdrrd(pdz(1.6)此即圆柱处标系下的哈密顿算符的表达式。球坐标系和直角坐标系的坐标变换关系如下:x=厂sinFeos0y=r

3、smOsm(pr=J兀2+y2+z：皿三zytan^?=—x(1.7)两者单位向量变换关系如下:(1.8)(1.9)ex=sin0cos(per+cos0cos(pe0一sin(peey=sin0sin(per+cosOsin(pe()+cos(pe^ez=cos0er一sinOeo根据多元复合函数求导法则，对得:dS.d1d1—=—sin&coscp+cos&coscpsincpdxdrdOrd(ppdQ・a・51o1-SJAaz=——sin&sin(p+cos&sin°coscpdr。&厂d(pp=—cos^-——sin^drder(p-y]x2+y2=jr2

4、-z2=rsin^)将(1.8)式和(1.9)式代入(1.1),可得：&q]Q]V=(—sinPcos(p+cos0coscpsin©)(sin0cos(per+cos0cos(pe0一sin(pe)drSOrd(pp6818]+(—sin/sin0+cos0sin(p+cos©)(sin0sin(per+cos0sin(peg+cos(pe)dr86rd(pp+(—cos0sin〃)(cos0er-sinOeo)dr80r(1-10)d1618=—e齢hedrrrdO0rsmddcpv此即球坐标系下的哈密顿算符的表达式。2、散度表达式的推导直角坐标系下的散度表达式

5、如下：讯曲—+—+—=-dxdydz在圆柱坐标系中，有▽二+右匕和A=X+码匕+4匕drrd(pdz円VOrro(p8Ar1PF83A乔(g+g)+£(1.12)考虑到圆柱坐标系中，匕和％都是变矢量，在式(1.3)中，将这两个变量均对0求导,可得：der=€d(pv>~j~=~erd(p将该式代入(1.12)化简得到:(1.13)V人=色+丄4+坐％+坐=丄2(於)drrfd(pdzrdry，J(1.14)同理可求得在球坐标系中，散度表达式如下:V心£

6、：心)+躺吕(sin陋匕血询(1.15)因为拉普拉斯算子可看成是先做梯度运算再做散度运算，即x,dududu对于圆

7、柱坐标系，上式应写成z)(1.16)zd1d0、/6u1dudu、v~u-(—er+e(n+—e_)(——er+etn+—e_)drrd(pdzdrrd(p'dz1dzdu.1d2ud2u=(r—)+———+—rdrdrr~d(p~dz~读者可根据前述相关分析与证明推得上式。同理可推得球坐标系屮，有(1.17)g二知2^)+宀务讪粤)+宀兽广drdr广sin050oO广sirr0d(p^(1.18)3、旋度表达式的推导直接写出▽和4矢量积的代数表达式，并牢记圆柱坐标系屮,匕和％是变矢量，会随着倂的变化而变化，球坐标系中，£、％、©会随&、©变化而变化，可得到圆柱坐标

8、系和球坐标系下的旋度表达式。圆柱坐标系下，有(1.19)口Z16A.dAdArdA「1。18AVxA=e()+e(—i)+e(M)&drrd(pdz°8zdrrdr"rd(p球坐标系下，有［存伽隔)一詈］+賁岛涪嶋陋)］(1.20)+他)-纽rorot)二、“梯度的旋度恒为0”的推导及其应用在教材第24页写明了梯度的一个重要性质：梯度的旋度恒等于0,下面给出该性质的证明。dxcy'czoxdy'dz=(也-也比+(色-也比+(也-也疋dydzdzdy'dzdxdxdz-dxdydydx~(2.1)rh于标量函数u在其整个分布空间通常具有连续的二阶混合偏导数，根