数学思维与解题

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1、数学思维与解题Ch1・试探法§1.1建立数学模型建立对于无穷例：证明斤个不同元素的集合具有2”个不同的子集・例:(1979putnam)设兀】宀，…心是实数列，x“多个n.xH为整数的关于xpx2的充要条件•兀3=——2xl-x2解法1:X尸“宀3兀］一2兀2x5=4x,-3x2兀1兀2兀1兀2(n一l)x)一(n一2)x2n(x}-x2)+(2x2一兀］)无穷多xneZx{=x2.解法2:将递归公式改写为:g壬，有"知+也)则｛rn｝为等差数列.11_%］-x2x2x{x{x2由L+i,可得£十乔母百;无穷多x

2、neZ=x2・例:假设和为没有公因子的正整数，证明：(b-l)ob⑺-1)(—1)2解：引入函数f(x)=—xl

3、永远不变・解：step1.CDM是等腰三角形.因为CD为刃在AB上投影，J4M是XY中点，W是M在AB上投影，所以7V是CD中点・・••CM二MD/.ACDM是等腰三角形.step2.ZMCB是定值.过C作XC延长线交圆于Z•连FZ得AXYZ,因XF为定值，故ZXZY为定值・又因为CM为AXYZ的中位线，所以ZMCB=--ZXZY是定值.2例:Adams夫妇参加一个聚会，他们到达时，已经有三对夫妇，相互握手时，没有人和自己的配偶握手，没有人和相同的人握手两次，没有人和自己握手，握手结束后，MrAdams问每个人

4、（包括自己的妻子）握手的次数，使他吃惊的是每个人的答案都不相同，问：MrAdams握手多少次？解:MrAdams得到其余七个人的答案是:0,1,2,3,4,5,6.d(A)=6,d(B)=5,d(C)=4,d{D)-3d(E)=2,d(G)=l,d(H)=O.{A,H},{B,G},{C,E},{D,F}.d(D)=d(F)=3.例：假设d和b是两个正整数，且a

5、x-y

6、>6/的面积・x-y=a<^

7、>x-y=±aS=2S]=S]+S?s=-(b-a)212S=(b-a)2{b-a)2b2例:求/（沪古的"阶导数•例：假设m和n是正整数，且m,则勺、rm、Zi=0例:设圆上选定n个点而每两点连一弦，除端点以外没有三条弦共点，--共有多少个交叉点？w注：这个例子有着十分重耍的应用.例如：X={x^x2^-,xm}丫={)”旳，…，儿}问：从X到Y有多少个单调递增函数？评：f是单调上升的,则^;.例：给定正整数n,求满足05a5b5c5dS的四元数组(ci,b,c,d)

8、的个数・0

9、石+花+…+兀=厂，%,>05+厂一1、解数为：£)例：将5表为3个自然数的和.5=2+2+1=2+1+2=1+2+2=1+1+3=1+3+1=3+1+1Pro将自然数m表成n个自然数之和，有多少方式？州+兀2+…+兀〃=加,xtn1必+儿+・・・+儿=加一斤卫一1丿例:将n个物体排成一行，假如这些物体的子集中没有相邻的物体，称该子集为非友好的，证明：具有k个元素的子集中，非友好子集的总数为解:Vk-组合{⑷心,…®}

10、+1）{12…—R+l}上的k-组合•例：设a.bER十，证明：n-k+lk丿§1.3修改问题u+bciabh>（ab）T.解:修改为O卫写ni{ab)2结论a-b2>1a丿case1.a>bcase2.a{abc）3i.e结论2.xi>0,i=1,2,3,4•/・*+七+禺+X4X/V，X2A2>（X]X2X3X4）