高级宏观最优化

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1、优化问题无约束条件的一元函数优化：maXz=x一阶必要条件：设最优解为八有一阶条件广（门=0,但是，这只是必要条件，而非充分条件，即为最大值（内）点二＞广（兀）=09但是，ff（x）=O^x为最大值（内）点”。X二阶充分条件:最大值点左边：斜率大于零最大值点右边：斜率小于零结论：斜率递减，即二阶导数小于或等于零。*X一元函数最大化条件：一阶导数等于零，二阶导数小于等于零。用微分来表述最大化的一、二阶条件：在最大值点，Z值必然是稳定的，这是驻点的特征，即当兀发生无穷小变化必TO时，z在兀变化的瞬间不变化，必=0。这等价于一阶条件。对任意的dx^O9dz：OT（-）即必递减。d（dz）=d2z<0

2、,dz=所以d2z=dx〃［广（兀）］=dx［广（兀）〃打=广‘⑴（d兀『<0二元函数优化:maxf（xvx2;a）-阶条件：Hzg"暂时假设二阶条件得到满足。由一阶条件可以得到最有解：X；=X｛（Q）X*=x2（Q）比较静态分析：参数变化对解的影响。把最优解代入到一阶条件中，得到：/；（西（4）,尤2（4）,4）三0上两式分别对Q求导，得到：九学+彳2字+九三°oaoa九学+/22牛+/2汗0oaoa表示为矩阵形式：fn0C丿扎2一阶条件：dz=09即最大值点为驻点。7hA1厶2丿为海赛矩阵。dz=fxdxx+fdx?=0对于西或（和）兀2的无穷小变化，Z在瞬间不改变。二阶条件：d2z<0

3、dz=（兀1，兀2）〃兀1+fl（兀1，兀2）"兀2d2z=d（dz）=d[£（兀],兀2）必1+f2（A：1,X2）d?X2]=dxxdM（%i,兀2）]+dXqd[乙（旺,兀2）]=dx{[fndx{+fndx2]+dx2[九為+j^26?x2]22=f{i）+lfndx{dx2+f22（d!x2）<0解得：fu<0,y22°更一般的表示是22/ll（^l）+2/]2血临+/22（必2）曲）<0‘九fnYdxiJ21J22）V^X2J海赛矩阵7hJi/il<°，仏、/22>厶2<0，/11/22-Z1>0负定，等价于/11/22-/12>0等价于/11/12A1/

4、22海赛矩阵H=(fu...九］••・:负定:...fJnn丿主余子式:fn<0fu/22>0fu/22厶3<0厶2/11扎扎Ai了22九3/14/24/42厶4/44>0约束条件下的优化maxs.t.g(x)=O构造拉格朗日函数：L(x,2)=/(x)+2g(x)一阶条件：厶(x,兄)=/](x)+2g](x)=0L2(x,2)=f2(x)+2g2(x)=0厶(x,2)=九(x)+2g”(x)=0L几(x,2)=g(x)=0加边海赛矩阵负定：'«Al+2gll…fin+^SlnSL3x{拉格朗日函数的海赛矩阵负定厶(x,2)fn+久久1…fnn+^SnnS…gngno丿<0