2020版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（第1课时）等比数列的概念及通项公式学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第1课时　等比数列的概念及通项公式学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一　等比数列的概念等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：＝q(n≥2).3．等比数列各项均不能为0.知识点二　等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项若x，G，y成等比数列，则G叫做x与

2、y的等比中项定义式A－x＝y－A＝公式A＝G＝±个数x与y的等差中项唯一x与y的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数x与y都有等差中项只有当xy＞0时，x与y才有等比中项知识点三　等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N＋)．1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．(　×　)2．任何两个数都有等比中项．(　×　)3．等比数列1，，，，…中，第10项为.(　√　)4．常数列既是等差数列，又是等比数列．(　×　)题型一　等比数列的判定命题角度1　已知数列前若干项判断是否为等比数列例1　判断下列数列是否为等比数列．(

3、1)1,3,32,33，…，3n-1，…；(2)－1,1,2,4,8，…；(3)a1，a2，a3，…，an，….解　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，….∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.反思感悟　判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前

4、一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1　下列各组数成等比数列的是(　　)①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④答案　C解析　①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；a不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2　已知递推公式判断是否为等比数列例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1

5、≠0.∴＝2(n∈N＋)．∴数列{an＋1}是等比数列．(2)解　由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.反思感悟　等比数列的判定方法(1)定义法：＝q(n≥2，q是不为0的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列．(2)等比中项法：a＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0)⇔{an}是等比数列．跟踪训练2　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)a2＝3a1－2×

6、2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n-1，∴an＝n－2·3n-1.题型二　等比数列基本量的计算例3　在等比数列{an}中．(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.解　(1)设等比数列的公比为q，则解得∴an＝a1qn-1＝(－8)n-1＝n-4.(2)设等比数列{an}的公比为q.∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18

7、.∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·n-4.由16·n-4＝，得n－4＝5，∴n＝9.反思感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练3　在等比数列{an}中：(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解　(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2