2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题18圆锥曲线的标准方程与几何性质练习理

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1、18　圆锥曲线的标准方程与几何性质1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　A.3-1B.2-3C.2-1D.2-2解析▶　根据题意,设F(c,0),又由△OAF是等边三角形,得Ac2,32c.因为点A在椭圆上,所以c24a2+3c24b2=1.　①又a2=b2+c2,　②联立①②,解得c=(3-1)a,则其离心率e=ca=3-1,故选A.答案▶　A2.直线l:x-2y-5=0过双曲线x2a2-

2、y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为(　　).A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x24-y2=1D.x2-y24=1解析▶　对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为x220-y25=1,故选A.答案▶　A3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且

3、PM

4、=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为(　　).A.627B.1827C.427D.227解析▶　设P(x0,y0),因为抛

5、物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,

6、PM

7、=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=±42.又点P在第一象限,所以P(8,42),所以kPF=427,故选C.答案▶　C4.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为(　　).A.2B.3C.6D.8解析▶　设P(x0,y0),则x024+y023=1,即y02=31-x024.又F(-1,0),所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=14x02+x0+3=14(x0+2)2+2.因为x0∈

8、[-2,2],所以(OP·FP)max=6,故选C.答案▶　C能力1▶　巧用定义求解曲线问题【例1】　已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线的右支解析▶　因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以

9、PF1

10、=

11、PM

12、,因此

13、PF1

14、-

15、PF2

16、=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是

17、双曲线的右支,故选D.答案▶　D　　求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.椭圆x212+y23=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则

18、PF2

19、是

20、PF1

21、的(　　).A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析▶　设线段PF2的中点为D,则

22、OD

23、=12

24、PF1

25、,OD∥PF1,OD⊥x轴,∴PF1⊥x轴,∴

26、PF

27、1

28、=b2a=323=32.又∵

29、PF1

30、+

31、PF2

32、=43,∴

33、PF2

34、=43-32=732,∴

35、PF2

36、是

37、PF1

38、的7倍,故选A.答案▶　A能力2▶　会用有关概念求圆锥曲线的标准方程【例2】　已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是(　　).A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=1解析▶　由题意可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,∴双曲线C的标准方程是x2

39、-y23=1,故选C.答案▶　C渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.已知双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为2,且双曲线与抛物线x2=-43y的准线交于A,B两点,S△ABO=3,则双曲线的实轴长为(　　).A.2B.2C.22D.42解析▶　因为抛物线的方程为x2=-43y,所以准线方程为y=3.因为S△ABO=3,所以12×2×

40、xA

41、×3=3,所以xA=±1,所以A(1,3)或A(-1

42、,3).因为双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为2,所以a=b,所以3a2-1a2=1,故a=2,因此双曲线的实轴长为22,故选C.答案▶　C能力3▶　会用几何量的关系求离心率【例3】　已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点