2019届高考数学二轮复习第一篇考点七解析几何考查角度4抛物线的标准方程与几何性质突破训练文

《2019届高考数学二轮复习第一篇考点七解析几何考查角度4抛物线的标准方程与几何性质突破训练文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、考查角度4　抛物线的标准方程与几何性质　　分类透析一　抛物线的定义与应用例1在平面直角坐标系xOy中,设点F12,0,直线l:x=-12,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l,则动点Q的轨迹方程为　　　　. 解析由题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,∴RQ是线段FP的垂直平分线.∵

2、PQ

3、是点Q到直线l的距离,又点Q在线段FP的垂直平分线上,∴

4、PQ

5、=

6、QF

7、.结合抛物线的定义,可知动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x.答案y2=2x方法技巧结合图形,借

8、助垂直平分线的性质进行适当的转化,得到该动点满足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条件的应用.　　分类透析二　抛物线的标准方程例2已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则抛物线的方程为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为Fp2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,将其

9、代入抛物线方程得y2-2py-p2=0,所以y1+y22=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,故选A.答案A方法技巧确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解.　　分类透析三　抛物线的几何性质与应用例3如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则1

10、FA

11、+1

12、FB

13、的值为(　　).A.p2B.pC.2pD.2p解析当直线

14、AB的斜率不存在,即与x轴垂直时,

15、FA

16、=

17、FB

18、=p,∴1

19、FA

20、+1

21、FB

22、=1p+1p=2p.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2,代入y2=2px中,得kx-kp22=2px,即k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=p(k2+2)k2,xAxB=p24.∵

23、FA

24、=xA+p2,

25、FB

26、=xB+p2,∴

27、FA

28、+

29、FB

30、=xA+xB+p,∴

31、FA

32、·

33、FB

34、=xA+p2xB+p2=xAxB+p2(xA+xB)+p24=p2(xA+xB

35、+p).∴

36、FA

37、+

38、FB

39、=

40、FA

41、·

42、FB

43、·2p,即1

44、FA

45、+1

46、FB

47、=2p,选C.答案C方法技巧该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不可忽视AB⊥x轴的情况.例4设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若FA+FB+FC=0,则

48、FA

49、+

50、FB

51、+

52、FC

53、=　　　　. 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知,F(1,0),p=2.因为FA+FB+FC=0,所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,所以

54、FA

55、

56、+

57、FB

58、+

59、FC

60、=x1+x2+x3+32p=6.答案6方法技巧对于抛物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用.1.(2018年全国Ⅰ卷,理8改编)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为1的直线与C交于M,N两点,若FM·FN=4,则p=　　　　. 解析由题意得直线的方程为y=x+2,设点M(x1,y1),N(x2,y2),则联立方程组y=x+2,y2=2px,消去y并整理,得x2+(4-2p)x+4=0,则x1x2=4,x1+

61、x2=2p-4.因为FM=x1-p2,y1,FN=x2-p2,y2,所以FM·FN=x1-p2,y1·x2-p2,y2=x1-p2·x2-p2+y1y2=2x1x2+2-p2(x1+x2)+p24+4=4,解得p=8(其中p=0舍去),故p的值为8.答案82.(2017年全国Ⅰ卷,理10改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两条直线AB,CD与抛物线分别相交于点A,B以及C,D,若1

62、AF

63、+1

64、BF

65、=1,则四边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB方程为(　　).　　　　　　　　　　　

66、　　　　　　　A.y=±(x-1)B.y=x-1C.y=1-xD.y=2x-1解析由抛物线的性质可知1

67、AF

68、+1

69、BF

70、=2p,又1

71、AF

72、+1

73、BF

74、=1,∴p=2,即y2=4x.设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线CD的斜率为-1k.∴直线AB的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,消去y,得k2x2-