（浙江专用）2019高考数学二轮复习精准提分 第一篇 小考点抢先练，基础题不失分 第3练 复数与数学文化试题

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1、第3练　复数与数学文化[明晰考情]　1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度．考点一　复数的概念要点重组　(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋d

2、i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝r＝(r≥0，r∈R)．方法技巧　复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．1．(2018·全国Ⅰ)设z＝＋2i，则

11、z

12、等于(　　)A．0B.C．1D.答案　C解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴

13、z

14、＝1.故选C.2．(2018·全国Ⅱ)等于(　　)A．－－iB．－＋iC．－－iD．－＋i答案　D解析

15、　＝＝＝＝－＋i.故选D.3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于(　　)A．5－4iB．5＋4i　C．3－4iD．3＋4i答案　D解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.4．(2018·杭州模拟)设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于(　　)A．3B．－3C.D．－答案　B解析　(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，∴虚部为0，则a＋3＝

16、0，∴a＝－3.5．(2018·浙江省杭州市第二中学月考)若复数z满足(1－2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则z＝______；

17、z

18、＝________.答案　　解析　由题设有z＝＝＝，故

19、z

20、＝.6．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.答案　5　2解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.考点二　复数的几何意义要点重组　(1)复

21、数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.7．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)答案　A解析　由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，得解得－3

22、.9．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则＝______.答案　－1－2i解析　由题意，根据复数的表示可知z1＝i，z2＝2－i，所以＝＝＝－1－2i.10．设复数z满足(2＋i)z＝，i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第________象限．答案　四解析　由(2＋i)z＝

23、－i

24、＝＝2，得z＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限．11．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于第______象限．答案　一解析　因为i4n＋k

25、＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i，所以z＝＝＝，对应的点为，在第一象限．考点三　几何中的数学文化方法技巧　从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．12．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是(　　)A．3步B．6步C．4步D．8步答案　B解析

26、　由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，则有＋＋＝×8×15(等积法)，解得r＝3，故其直径为6步．13．如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα等于(　　)A.B.C．5D.答案　A解析