知识讲解_函数与方程_基础

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1、函数与方程撰稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一、函数的零点1•函数的零点(1)-般地，如果函数y=/(x)在实数Q处的值等于零，即/9)二0,贝k叫做这个函数的零点.要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实

2、数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数y=/(x)的图彖与兀轴交点的横坐标；③函数y=/(x)的零点就是方程.f(切=0的实数根.④零点都是指变号零点(函数图象通过零点时穿过x轴，贝ij称这样的零点为变号零点).归纳：方程/(%)=0有实数根o函数=/(%)的图彖与x轴有交点o函数)，=/(兀)有零点(2)二次函数的零点二次函数y=血2+bx+c的零点个数，方程o?+bx+c=O的实根个数见下表.判別式方程的根函数的零点A>0两个不相等的实根两个零点A=0两个相等的实根一个二重零点A<0无实根无零点(3)

3、二次两数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二重零点)，函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图彖是连续不间断的，上述性质同样成立.2.函数零点的判定(1)利用函数零点存在性的判定定理如果函数y=/(x)在一个区间［a,b］上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即/(6/)/(/7)<0,贝IJ这个两数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点兀0$3b),使/(xo)=O,这个无。也就是方程/(x)=0的根.要点诠释：①满足上述条件，我们

4、只能判定区间内有零点，但不能确定有儿个.若两数在区间内单调，则只有一个:若不单调，则个数不确定.①若函数.f(无)在区间［。,叶上有/(a)•/(/?)>0,/(x)在(a,b)内也可能有零点，例如f(x)=/在［—1,1］上，f(x)=x2-2x-3在区间［一2,4］±就是这样的.故/(兀)在仏b)内有零点，不一定有②若函数/(x)在区间［。,列上的图象不是连续不断的曲线，/(兀)在(a,b)内也可能是有零点，例如函数f(x)=丄+1在卜2,2］±就是这样的.X(1)利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程

5、/(%)=0,方程/(%)=0无实根则函数无零点，方程/(x)=0有实根则函数有零点.(2)利用数形结合法函数F(x)=/(x)-g(x)的零点就是方程/(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=/(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标•要点二、一元二次方程根的分布与方程系数的关系(1)设Xi、X2是一元二次方程ax2+bx+c=O(a>0)的两实根，则X

6、、x?的分布范围与一元二次方程的系数Z间的关系是：A>0①当X

7、0②当k0；b>k

8、、2a③当X

9、0/&)>0④当xi，x2e(k

10、,k2)时,有0.bk、<<12a②当X

11、、X2冇H•仅冇一个在(k】，k2)时，冇/伙J/伙2)<0.要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置.当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布.(2)所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系•比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说

12、这两个根分布在零的两侧.设一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的两个实根为x】，x2,且x】Wx2・A=b2-4ac>0®x}>0,xo〉0o0；"acnx{x2=—>0A=b2-4ac>0b②X］0.〜ac③兀1<0—<0；~a④xi=0,X2>0Oc=0,<0:X］V0,x2=0Oc=0,且—>0.aa要点三、二分法1・二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，便区间的两个端点逐步逼近零点，进而得

13、到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数y=/(兀)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x。的近似值x,使它满足给定的精确度.第一步:在D内取一个闭区间［认］匸£>,使/(«0)与/仇))异号，即/(a0)/(&0)<0,零点位于区间［q。，％］中.第二步：取区间［%如的中点，则此中点对应的处标为兀。=。()+*(%-+%)•计算/(兀o)和/(绳)，并判断：①如