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1、数学模型实验指导书应用数学系学系数学规划在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等许多领域中，人们经常遇到的一类决策问题是：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使关注的某个或多个指标达到最大(或最小)的决策。例如，结构设计要在满足强度要求条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻；资源分配要在有限资源约束下制定各用户的分配数量，使资源产生的总效益最大；运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高。上述这
2、种决策问题通常称为优化问题。人们解决这些优化问题的手段大致有以下几种：1.依赖过去的经验判断面临的问题。这似乎切实可行，并且没有太大的风险，但是其处理过程会融入决策者太多的主观因素，常常难以客观地加以描述，从而无法确认结果的最优性。2.做大量的试验反复比较。这固然比较真实可靠，但是常要花费太多的资金和人力，而且得到的最优结果基本上离不开开始设计的试验范围。用数学建模的方法建立数学规划模型求解最优决策。虽然由于建模时要作适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用，具有前两种手段无可比拟的优
3、点。如果在次基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答，是解决这种问题最有效、最常用的方法之一。在决策科学化、定量化的呼声日益高涨的今天，用数学建模方法求解优化问题，无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。数学规划模型一般有三个要素：一是决策变量，通常是该问题要求解的那些未知量，不妨用n维向量x=(xbx2,...,xn)T表示；二是目标函数，通常是该问题要优化(最小或最大)的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的函数，这里抽象地记作f(x);三是约束条件，由该问题对决策变量的限制条件给出，即x允许取值的范围x€0,0
4、称可行域，常用一组关于x的不等式(也可以有等式)gi(x)<0仃=1,2,…』)来界定。一般地，这类模型可表示成如下形式：optz=f(x)(1)s.t.gi(x)<0(2)这里opt(optimize)是最优化的意思，可以是求极小min(minimize)或求极大max(maximize);s.t.(subjectto)是"受约束于”的意思,满足(2)式的解x称为可行解，同时满足(1)式，(2)式的解x•称为最优解。模型(1),(2)是微积分中多元函数的条件极值问题。当约束条件(2)比较简单(如全为等式)时，多元微积分中介绍过求解析解的基本原理
5、和方法，即令目标函数(对等式约束需要加上与其对应的拉格朗日乘子的乘积项)的偏导数为零，求出驻点后再比较驻点上的函数值。但是，大多数实际问题归结的上述形式的模型很难用这种方法求解，因为：第一，解析方法只能处理目标函数f和约束条件缶，并且决策变量个数n,约束条件个数m比较小的情形，当f,旨稍微复杂时通常至少需要求解比较复杂的非线性方程(组)，很难得到解析解；第二,当最优解在可行域的边界上取得时(不少实际问题正是如此)，就不能用原有的求条件极值的方法求解，所以对于优化问题的这类模型必须寻求有效的数值解法。当模型(1),(2)中决策变量/的所有分量x,i
6、=l,…n)均为实数，且f,g,i=1,…m)都是线性函数时，称为线性规划。若f,gi至少有一个非线性函数，则称为非线性规划。若X至少有一个分量只取整数，则称为整数规划。线性规划和非线性规划是连续规划，而整数规划是离散优化(组合优化)，它们统称为数学规划。本实验指导书包括数学规划方面的两个实验：线性规划，整数规划。用LINDO和LINGO解线性规划和整数规划：LINDO(LinearInteractiveandDiscreteOptimizer)和LINGO(LinearInteractiveandGeneraiOptimizer)是由美国芝加哥
7、大学的LinusSchrage于1986年开发的优化计算软件包，LINDO可以用来求解线性规划、线性整数规划、二次规划和整数二次规划，而LINGO除此之外还可以解非线性规划和非线性整数规划。从LINDO公司的主页(http://www.lindo.com)上同学们可以了解更多的有关信息，并可以下载软件的试用版。实验一线性规划(LP)1.实例及数学模型例.加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产儿、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤Al,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A?。根据市场需求，生产的A】、A?能全部售
8、出，且每公斤仏获利24元，每公斤儿获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天
