动态几何思考策略与解题方法（教案）教师版

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1、动态几何问题思考策略与解题方法以运动的观点探究儿何图形变化规律的问题，称Z为动态儿何问题.动态儿何问题充分体现了数学屮的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元索（点、线段、角等）或某部分儿何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的而积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻・・一、动态几何问题涉及的几种情况：1、点动（有单动点型、多动点型）.2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，

2、进而还会产生形动,因而线动型儿何问题可以通过转化成点动型问题来求解.3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）.二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：典例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条宜线i上，当等腰APQR从C、Q两点重合时开始，以lcm/秒的速度沿直线1向左匀速运动,t秒后止方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Semi解答下列问题：（1）当=3秒时，求S的值；（2）当=5秒时，求S的值；（3）当5SW8时

3、，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.A分析：当等腰AIPR从C、Q两点重合开始，以lcm/秒的速度沿直线1向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰APQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程小的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点，它们分别是点B、C、R和等腰APQR底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点二因为正方形ABCD的边长为5cm,等腰三角形△RQR的底边QR=8cm,（1）所以当t<4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，则S是AQCG的面积，所以，当匸3秒时，$是厶Q

4、CG的面积（如图一的“静态。（2）当4

5、住变化屮的“不变量"和不变关系为“向导"，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量；4.找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式；5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；（某些儿何元素的变化会带来其它儿何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解）6、是否分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动-•遍，从动

6、态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关儿何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程屮的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点：若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的吋刻，确定变化的范围分类求解。三、典型例题例1•如图1所示，一张三角形纸片ABC,ZACB=90°,AC=8,BC=6.zft斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AACQ和ABCqQ两个三角形（如图2所示）.将纸片AACQ沿直线（AB）方向平移（点AD1?Z）2,B始终在同

7、一直线上），当点0于点B重合时，停止平移.在平移过程中，CQ与交于点EMC,与C2D2、SC?分别交于点F、P.（1）当AAG®平移到如图3所示的位置吋，猜想图屮的DxE^D2F的数量关系，并证明你的猜想;（2）设平移距离29为兀，MC.O,与ABC20重叠部分面积为y，请写出y与兀的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）屮的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原MBC面积的丄.若存在,求兀的值；若不存在，请说明理由.分析：1、把握运动变化的形式及过程:题目条件：将AACQ沿直线0〃（AB）方向平移（

8、点AD,,D2,B始终在同一直线上），当点0于点B重合时，停止平移.所以这是-•个图形的平移运动2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系：（1）因为在RtABC中，AC=&BC=6,所以由勾股定理，得AB=IO.（2）因为ZACB=90°,CD是斜边上的中线，所以，DC=DA=DB,即D,