巧用定比分点解代数问题

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1、巧用定比分点解代数问题张光荣广东省韶关市第一中学高中部美国数学家斯蒂思曾经说过，若一个特定的问题能转换为一个图形，那思想就整体地把握了问题，而且能创造地思索问题的解法.通过几何直观，不但使抽象的数学概念有了几何意义，得到了具体直观的几何解释，使抽象概念变得更利于学生理解掌握，而且其具体的几何意义常常给我们解题提供思路和方法.在许多数学问题中，只要深入挖掘，拓展关系抓住问题的共性，便可以巧建出相似的几何模型，既使问题变得容易解决，又提高了学生创新的思维能力，实属一举两得.常见的几何模型有多边形、单位圆、

2、长方体、正方体等具体图形，也有距离、直线的斜率、线段的定比分点等几何特征量，距离和斜率应用很广泛，而线段的定比分点往往被忽视.1.定义设、是直线上的两点，点是上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分有向线段所成的比.2.性质2.1坐标之间的关系若点、、的坐标分别为（，）、（，）、（，），则有，即（、不重合），又可得.2.2的取值范围（1）当点在线段上（点为内分点）时，；（2）当点与重合时，，当点与重合时，定义无意义，不予研究；（3）当点不在线段上（点为外分点）时，且.具体地，若当点在线段的延

3、长线上时,；若当点在线段的反向延长线上时，.综上，且.2.3特例当直线就是数轴时，数轴上三点、、分别对应三个实数，结合实数的性质和定比分点公式可以解决很多代数问题.3.运用3.1用于求函数的解析式例1已知的图像过点（，），是否存在常数、、，使4得不等式≤≤对一切实数都成立？解：假设存在。当，总有≤≤，为此我们不妨设、、为数轴上三点，则，很显然其中≥，于是由定比分点的坐标公式得，又因为过点（，），代入得，解得.再将代入中得到=.3.2用于求函数的值域例2求函数的值域.解：令（≤），则有.不妨设、、为数轴

4、上三点，则，由≤解得≥，即函数的值域是∪，其几何意义是点是的外分点或点与重合.3.3用于解不等式例3解不等式：.解：不妨设、、为数轴上三点，由得，而点是线段的内分点，则有，解得，即原不等式解集是∪.3.4用于证明不等式例4证明：已知<,<,求证<.4证明:依题意有>,>,而＝,不妨设、、为数轴上三点，则，显然有>,这说明点是线段的内分点，则,即证.3.5用于处理三角问题例5证明：的值不在区间里.证明：(1)若，则；(2)若，则；(3)若，不妨设、、为数轴上三点，点是分点.则有，即是的外分点，必有.综上

5、，的值不在区间里.3.6用于处理数列问题等差数列的通项公式是：，是关于的一次函数，其图像为直线，则、、三点必共线（m、n、k），可将点看作是的定比分点.例6在3与19之间插入31个数，使他们成等差数列，求其通项公式.解：设通项公式为,由、得、，点分所成的比为，于是，整理得.以上仅仅只是笔者构造定比分点解决代数问题的一点尝试，这充分体现了数形结合思想.数形结合是一种极富数学特点的信息转换，是直觉和逻辑的交汇，能很好地提升思维的灵活性.但正确使用数形结合要注意等价性、双向性、简单性原则，教学中尤其要把握好

6、数与形的双向沟通，让学生感到转换过程自然，否则就哗众取宠，流于形式.4作者简介张光荣(1977—),男，湖北洪湖人，大学本科，中学数学一级教师，中学奥数一级教练员，在省级、国家级等各类杂志上公开发表论文二十余篇，毕业于华中师范大学2007级数学教育专业硕士，研究方向：学科教学论电话：15015085582Email：553006395@qq.com4